《2025年春如金卷课时作业AB本九年级数学上册北师大版》

4. 方程$x(x-6)=0$的解是 (B)
A. $x=6$
B. $x_{1}=0,x_{2}=6$
C. $x=-6$
D. $x_{1}=0,x_{2}=-6$

答案： B

5. 一元二次方程$x^{2}+2x=0$的解是 (C)
A. $x_{1}=x_{2}=-2$
B. $x_{1}=2,x_{2}=0$
C. $x_{1}=-2,x_{2}=0$
D. $x_{1}=2,x_{2}=-2$

答案： C

6. 一元二次方程$x(x-3)=x-3$的解是 (C)
A. $x_{1}=x_{2}=1$
B. $x_{1}=0,x_{2}=3$
C. $x_{1}=1,x_{2}=3$
D. $x=0$

答案： C

7. 用因式分解法解下列方程：
(1)$x^{2}-16=0$；$x_{1}=4,x_{2}=-4$
(2)$4x^{2}-4x+1=0$；$x_{1}=x_{2}=\frac {1}{2}$
(3)$x^{2}+x=0$；$x_{1}=0,x_{2}=-1$
(4)$5x^{2}=3x$；$x_{1}=0,x_{2}=\frac {3}{5}$
(5)$3x(x+1)=2+2x$；$x_{1}=-1,x_{2}=\frac {2}{3}$
(6)$(x+1)(x+3)=15$。$x_{1}=-6,x_{2}=2$

答案：
(1)$x_{1}=4,x_{2}=-4$。
(2)$x_{1}=x_{2}=\frac {1}{2}$。
(3)$x_{1}=0,x_{2}=-1$。
(4)$x_{1}=0,x_{2}=\frac {3}{5}$。
(5)$x_{1}=-1,x_{2}=\frac {2}{3}$。
(6)解：$x^{2}+4x-12=0,(x+6)(x-2)=0,x+6=0$或$x-2=0$，所以$x_{1}=-6,x_{2}=2$。

8. 用因式分解法解下列方程：
(1)$2(x-3)^{2}=x^{2}-9$；$x_{1}=3,x_{2}=9$
(2)$(3x-1)^{2}=(x+1)^{2}$。$x_{1}=0,x_{2}=1$

答案：
(1)$x_{1}=3,x_{2}=9$。
(2)$x_{1}=0,x_{2}=1$。

9. 阅读下列材料，完成相应的任务：
三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以$x^{2}-2x-3=0$为例，大致过程如下：
第一步：将原方程变形为$x^{2}-2x=3$。即$x(x-2)=3$。
第二步：构造一个长为$x$，宽为$x-2$，且面积为3的长方形，如图1所示。
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示。
第四步：将大正方形边长用含$x$的代数式表示为______。
小正方形边长为常数______，长方形面积之和为常数______。
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程______，两边同时取算术平方根可求得$x=3$。
(1)这一过程体现的一种数学思想是______；
A. 类比思想
B. 统计思想
C. 分类讨论思想
D. 数形结合思想
(2)第四步中横线上应依次填入______，______，______，______；
(3)请参考古人的思考过程，在图3画出的示意图中，结合图2，写出关键数据，并直接写出运用这种方法求得方程$x^{2}-x-3=0$的一个解。

答案：
解：
(1)D；
(2)$2x-2;2;12;(2x-2)^{2}=16$；
(3)第一步：将原方程变形为$x^{2}-x-3=0$，即$x(x-1)=3$，
第二步：构造成一个长为$x$，宽为$(x-1)$的长方形，长比宽大1，且面积为3，
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图所示：

第四步：将大正方形边长用含$x$的代数式表示为$[x+(x-1)]$，
小正方形边长为常数$[x+(x-1)]-2(x-1)=1$，
长方形面积之和为常数$4×3=12$，
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程$(2x-1)^{2}=1+4×3=13$，
两边开方可求得$x_{1}=\frac {1+\sqrt {13}}{2},x_{2}=\frac {1-\sqrt {13}}{2}$。