《2025年春如金卷课时作业AB本九年级数学上册北师大版》

A. 根据根与系数的关系,求方程$5x^{2}+2x-1=0$的两根之和、两根之积。

答案： 解:$\because a=5,b=2,c=-1,$
$\therefore Δ=b^{2}-4ac=4+4×5×1=24＞0,$
$\therefore$ 方程有两个实数根。
设方程$5x^{2}+2x-1=0$的两根是$x_{1}$与$x_{2},$
那么
$x_{1}+x_{2}=-\frac {b}{a}=-\frac {2}{5},x_{1}x_{2}=\frac {c}{a}=\frac {-1}{5}=-\frac {1}{5}$。

B. 已知$x=1$是方程$x^{2}+bx-2=0$的一个根,则方程的另一个根是 (C)
A.1
B.2
C.-2
D.-1

答案： 答案:C
解析:$\because x=1$是方程$x^{2}+bx-2=0$的一个根,
$\therefore x_{1}x_{2}=\frac {c}{a}=-2,$
设$x_{1}=1$,则$1×x_{2}=-2$,则方程的另一个根是-2。
故选 C。

答案： C. 若$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-8x+7=0$的两个根,求$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}$和$\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}$的值。
解:$\because x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-8x+7=0$的两个根,
$\therefore x_{1}+x_{2}=8,x_{1}x_{2}=7,$
$\therefore \frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}=\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac {8}{7},$
$\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}=\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac {(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac {50}{7}$。

答案： 解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若$x_1$，$x_2$是其两根，根据韦达定理有$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
对于方程$x^{2}-8x + 7 = 0$，其中$a = 1$，$b=-8$，$c = 7$，则$x_{1}+x_{2}=8$，$x_{1}x_{2}=7$。
1. 计算$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$：
$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}$，将$x_{1}+x_{2}=8$，$x_{1}x_{2}=7$代入可得：$\frac{8}{7}$。
2. 计算$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$：
$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}$。
把$x_{1}+x_{2}=8$，$x_{1}x_{2}=7$代入：
$\frac{8^{2}-2×7}{7}=\frac{64 - 14}{7}=\frac{50}{7}$。
综上，$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$的值为$\frac{8}{7}$，$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$的值为$\frac{50}{7}$。

1. 不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积:
(1)$x^{2}+2x+1=0;$
两根之和为-2，两根之积为1
(2)$2x^{2}+3=7x^{2}+x$。
两根之和为$-\frac{1}{5}$，两根之积为$-\frac{3}{5}$

答案：
(1)$x_{1}+x_{2}=-\frac {b}{a}=-2,x_{1}x_{2}=\frac {c}{a}=1$；
(2)$x_{1}+x_{2}=-\frac {b}{a}=-\frac {1}{5},x_{1}x_{2}=\frac {c}{a}=-\frac {3}{5}$。

2. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+m=0$的一个根是$x_{1}=-1$,求 m 的值-3和方程的另一个根$x_{2}$3。

答案： 解：将$x_{1}=-1$代入方程，
得$1+2+m=0$，即$m=-3$，
∴方程为$x^{2}-2x-3=0$。
设方程的另一根为$x_{2}$，
$\therefore -1+x_{2}=2$，即$x_{2}=3$，
则$m$的值为$-3$，方程的另一根为$3$。

3. 一元二次方程$x^{2}+6x+3=0$的两根为$x_{1},$$x_{2}$,利用两根与系数的关系,求下列式子的值:
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2};$
(2)$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}$。

答案： 解：
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}\cdot x_{2}=(-6)^{2}-2×3=36-6=30$；
(2)$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=3×(-6)=-18$。