《2025年春如金卷课时作业AB本九年级数学上册北师大版》

9. 如图,在$ □ ABCD $中,$ BD \perp AB $,延长AB至点E,使$ BE = AB $,连接EC。
(1)求证:四边形BECD是矩形;
(2)连接AC,若$ AD = 3 $, $ CD = 2 $,求AC的长为$\sqrt{21}$。

答案：
(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$CD = AB$，$CD// AB$，
又
∵$BE = AB$，
∴$BE = DC$，$BE// CD$，
∴四边形$BECD$为平行四边形。
∵$BD⊥AB$，
∴$∠ABD = ∠DBE = 90^{\circ}$，
∴平行四边形$BECD$是矩形；
(2) 解：如图，
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$BC = AD = 3$，$AB = CD = 2$。
由
(1)可知，四边形$BECD$是矩形，
∴$∠E = 90^{\circ}$，$BE = CD = 2$，
∴$AE = AB + BE = 4$。
在$Rt\triangle BCE$中，由勾股定理得：
$CE = \sqrt{BC^{2}-BE^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$，
∴$AC = \sqrt{AE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{4^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{21}$，即$AC$的长为$\sqrt{21}$。

10. 如图,在正方形ABCD中,点E为CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点G,点F在BC上,$ \angle FAE = \angle DAE $,连接FE并延长交AD的延长线于点H,连接HG。
(1)求证:四边形AFGH为菱形;
(2)若正方形ABCD的边长为4,求四边形AFGH的面积。

(1) 证明：∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD// BC$，
∴$∠DAE = ∠FGA$，
又∵$∠FAE = ∠DAE$，
∴$∠FGA = ∠FAE$，
∴$FA = FG$。
∵点$E$为$CD$的中点，
∴$DE = CE$。
在$\triangle ADE$和$\triangle GCE$中，$\begin{cases}∠DAE = ∠EGC\\∠ADE = ∠GCE\\DE = CE\end{cases}$
∴$\triangle ADE≌\triangle GCE$(AAS)，
∴$AD = CG$，
同理：$\triangle DEH≌\triangle CEF$(AAS)，
∴$DH = CF$。
∵$AH = AD + DH$，$GF = CG + CF$，
∴$AH = FG$，
又∵$AH// FG$，
∴四边形$AFGH$为平行四边形，
∵$FA = FG$，
∴四边形$AFGH$为菱形。
(2) 解：设$FC = x$，由(1)知$FC = DH = x$，
∴$AF = AH = AD + DH = 4 + x$，$BF = BC - FC = 4 - x$。
在$Rt\triangle ABF$中，根据勾股定理，得$AF^{2}=AB^{2}+BF^{2}$，
∴$(4 + x)^{2}=4^{2}+(4 - x)^{2}$，解得$x = $1，
∴$AF = FG = 4 + x = $5，
∴菱形$AFGH$的面积为20。

答案：
(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD// BC$，
∴$∠DAE = ∠FGA$，
又
∵$∠FAE = ∠DAE$，
∴$∠FGA = ∠FAE$，
∴$FA = FG$。
∵点$E$为$CD$的中点，
∴$DE = CE$。
在$\triangle ADE$和$\triangle GCE$中，$\begin{cases}∠DAE = ∠EGC\\∠ADE = ∠GCE\\DE = CE\end{cases}$
∴$\triangle ADE≌\triangle GCE(AAS)$，
∴$AD = CG$，
同理：$\triangle DEH≌\triangle CEF(AAS)$，
∴$DH = CF$。
∵$AH = AD + DH$，$GF = CG + CF$，
∴$AH = FG$，
又
∵$AH// FG$，
∴四边形$AFGH$为平行四边形，
∵$FA = FG$，
∴四边形$AFGH$为菱形。
(2) 解：设$FC = x$，由
(1)知$FC = DH = x$，
∴$AF = AH = AD + DH = 4 + x$，$BF = BC - FC = 4 - x$。
在$Rt\triangle ABF$中，根据勾股定理，得$AF^{2}=AB^{2}+BF^{2}$，
∴$(4 + x)^{2}=4^{2}+(4 - x)^{2}$，解得$x = 1$，
∴$AF = FG = 4 + x = 5$，
∴菱形$AFGH$的面积为$FG\cdot DC = 5×4 = 20$。

11. 问题引入:如图1,$ AB // CD $, $ AB ＞ CD $, $ \angle ABD = 90^{\circ} $,E是线段AC的中点。连接DE并延长交AB于点F,连接BE。则BE与DE之间的数量关系是$BE = DE$。
问题延伸:如图2,在正方形ABCD和正方形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,点G在BC上,P是线段DF的中点,连接PC,PG。
(1)判断PC与PG之间的数量关系,并说明理由;
(2)连接CF,若$ AB = 3 $, $ PC = \sqrt{2} $,则CF的长为$\sqrt{5}$。

答案： 问题引入：$BE = DE$，理由如下：
∵$AB// CD$，
∴$∠A = ∠C$。
∵$E$是$AC$的中点，
∴$AE = CE$。
在$\triangle AEF$和$\triangle CED$中，$\begin{cases}∠A = ∠C\\AE = CE\\∠AEF = ∠CED\end{cases}$
∴$\triangle AEF≌\triangle CED(ASA)$，
∴$EF = DE$。
∵$∠ABD = 90^{\circ}$，
∴$BE$为$Rt\triangle BDF$斜边上的中线，
∴$EF = DE = BE$，
∴$BE = DE$。
故答案为：$BE = DE$；
问题延伸：
(1)$PC = PG$，理由如下：
如图，延长$GP$交$CD$于点$M$，
∵四边形$ABCD$，$BEFG$为正方形，
∴$CD// AE// GF$，$∠BCD = 90^{\circ}$，
∴$∠CDP = ∠PFG$。
∵$P$为$DF$的中点，
∴$DP = FP$。
在$\triangle DPM$和$\triangle FPG$中，
$\begin{cases}∠MDP = ∠GFP\\DP = FP\\∠DPM = ∠FPG\end{cases}$
∴$\triangle DPM≌\triangle FPG(ASA)$，
∴$PM = PG$，$GF = DM$。
∵$PC$为$Rt\triangle MCG$斜边上的中线，
∴$PC = PG = PM$，
∴$PC = PG$；
(2)
∵四边形$ABCD$，$BEFG$为正方形，
∴$AB = BC = CD = 3$，$BG = GF = DM$，$∠CGF = 90^{\circ}$。
设$BG = GF = DM = x$，
∴$CM = CG = 3 - x$。
∵$PC = PG = PM = \sqrt{2}$，
∴$MG = 2\sqrt{2}$。
∵$MC^{2}+CG^{2}=MG^{2}$，
∴$(3 - x)^{2}+(3 - x)^{2}=(2\sqrt{2})^{2}$，
∴$x = 1$，
∴$GF = 1$，$CG = 3 - 1 = 2$，
∴$CF = \sqrt{GF^{2}+CG^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$。