《2025年春如金卷课时作业AB本九年级数学上册北师大版》

4. 如图,D是$△ABC$的边AB上的一点,那么下列四个条件不能单独判定$△ABC \backsim △ACD$的是 (C)

A. $∠B = ∠ACD$
B. $∠ADC = ∠ACB$
C. $\frac { A C } { C D } = \frac { A B } { B C }$
D. $A C ^ { 2 } = A D \cdot A B$

答案： C

5. 如图,下列条件不能判定$△ADB \backsim △ABC$的是 (D)

A. $∠ABD = ∠ACB$
B. $∠ADB = ∠ABC$
C. $A B ^ { 2 } = A D \cdot A C$
D. $\frac { A D } { A B } = \frac { A B } { B C }$

答案： D

6. 如图,根据所给条件证明图中两个三角形相似。

证明：∵$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2+4}=$$\frac{1}{3}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{3+6}=$$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
又∵$∠A=∠A$，
∴$△ADE∽△ABC$。

答案： 证明：
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2+4}=\frac{1}{3}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{3+6}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
又
∵$∠A=∠A$，
∴$△ADE∽△ABC$。

7. 如图,D是$△ABC$的边AB上的一点,$B D =$$\frac { 4 } { 3 }, A B = 3, B C = 2$。
(1)$△BCD$与$△BAC$相似吗? 请说明理由。
答：相似。理由如下：
∵$BD=\frac{4}{3}$，$AB=3$，$BC=2$，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{\frac{4}{3}}{2}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{BA}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{BA}$，
而$∠DBC=∠CBA$，
∴$△BCD∽△BAC$。
(2)若$C D = \frac { 5 } { 3 }$,求AC的长。
解：∵$△BCD∽△BAC$，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{BA}$，即$\frac{\frac{5}{3}}{AC}=\frac{2}{3}$，
∴$AC=$$\frac{5}{2}$。

答案： 解：
(1)$△BCD∽△BAC$。理由如下：
∵$BD=\frac{4}{3}$，$AB=3$，$BC=2$，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{\frac{4}{3}}{2}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{BA}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{BA}$，
而$∠DBC=∠CBA$，
∴$△BCD∽△BAC$。
(2)
∵$△BCD∽△BAC$，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{BA}$，即$\frac{\frac{5}{3}}{AC}=\frac{2}{3}$，
∴$AC=\frac{5}{2}$。

8. 如图,在正方形ABCD中,点E是AD的中点,点F在CD上,且$C F = 3 F D$。
(1)求证:$△ABE \backsim △DEF$;
证明：∵四边形$ABCD$为正方形，∴$∠A=∠D=90^{\circ}$，$AB=AD=CD$。设$AB=AD=CD=4a$，∵$E$为边$AD$的中点，$CF=3FD$，∴$AE=DE=2a$，$DF=a$，∴$\frac{AB}{DE}=\frac{4a}{2a}=2$，$\frac{AE}{DF}=\frac{2a}{a}=2$，∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$。又∵$∠A=∠D=90^{\circ}$，∴$△ABE∽△DEF$。
(2)$△ABE$与$△BEF$相似吗? 为什么?
解：相似。∵$△ABE∽△DEF$，∴$\frac{EF}{BE}=\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$，∴$∠AEB=∠DFE$，$∠ABE=∠DEF$。∵$∠AEB+∠ABE=90^{\circ}$，∴$∠BEF=90^{\circ}$。又∵$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$，$∠A=90^{\circ}$，∴$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BE}=\frac{1}{2}$，$∠A=∠BEF=90^{\circ}$，∴$△ABE∽△EBF$。

答案：
(1)证明：
∵四边形$ABCD$为正方形，
∴$∠A=∠D=90^{\circ}$，$AB=AD=CD$。
设$AB=AD=CD=4a$，
∵$E$为边$AD$的中点，$CF=3FD$，
∴$AE=DE=2a$，$DF=a$，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{4a}{2a}=2$，$\frac{AE}{DF}=\frac{2a}{a}=2$，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$。
又
∵$∠A=∠D=90^{\circ}$，
∴$△ABE∽△DEF$。
(2)解：
∵$△ABE∽△DEF$，
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴$∠AEB=∠DFE$，$∠ABE=∠DEF$。
∵$∠AEB+∠ABE=90^{\circ}$，
∴$∠BEF=90^{\circ}$。
又
∵$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$，$∠A=90^{\circ}$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BE}=\frac{1}{2}$，$∠A=∠BEF=90^{\circ}$，
∴$△ABE∽△EBF$。

9. 如图,在$△ABC$中,$∠C = 90 ^ { \circ }, B C = 8 \mathrm { cm }$,$A C : A B = 3 : 5$,点P从点B出发沿BC向点C以$2 \mathrm { cm } / \mathrm { s }$的速度移动,点Q从点C出发沿CA向点A以$1 \mathrm { cm } / \mathrm { s }$的速度移动,如果P,Q分别从B,C同时出发,问第$\frac{12}{5}$或$\frac{32}{11}$秒时$△CPQ$与$△CBA$相似。

答案： 解：
∵$BC=8cm$，$∠C=90^{\circ}$，$AC:AB=3:5$，
∴$AC=6cm$。
设第$t s$时$△CPQ$与$△CBA$相似。①当$△CPQ∽CBA$，则$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$，即$\frac{8 - 2t}{8}=\frac{t}{6}$，
解得$t=\frac{12}{5}$。
②当$△CPQ∽△CAB$，则$\frac{CP}{CA}=\frac{CQ}{CB}$，即$\frac{8 - 2t}{6}=\frac{t}{8}$，解得$t=\frac{32}{11}$。