《2025年春如金卷课时作业AB本九年级数学上册北师大版》

4. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（A）
A. 对角线相等
B. 四条边相等
C. 对角线互相垂直
D. 每条对角线平分一组对角

答案： A

5. 正方形具有而矩形不具有的性质是（A）
A. 对角线互相垂直
B. 对角相等
C. 对角线互相平分
D. 四角相等

答案： A

6. 如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边三角形ABE，则∠AED的度数为（A）

A. 15°
B. 20°
C. 22.5°
D. 25°

答案： A

7. 如果一个正方形的对角线长为$\sqrt{3}$，那么它的面积为$\frac{3}{2}$。

答案： $\frac{3}{2}$

8. 如图，点E，F在正方形ABCD的边BC，CD上，AE，BF相交于点G，BE=CF。
（1）求证：AE=BF；
证明：∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=BC$，$∠ABE=∠BCF=90^{\circ}$。
又∵$BE=CF$，
∴$\triangle ABE≌\triangle BCF(SAS)$，
∴$AE=BF$。
（2）求证：AE⊥BF。
证明：由(1)知$∠BAE=∠CBF$。
∵$∠BAE+∠AEB=90^{\circ}$，
∴$∠CBF+∠AEB=90^{\circ}$，
∴$∠BGE=90^{\circ}$，即$AE⊥BF$。

答案：
(1)证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=BC$，$∠ABE=∠BCF=90^{\circ}$。
又
∵$BE=CF$，
∴$\triangle ABE≌\triangle BCF(SAS)$，
∴$AE=BF$。
(2)证明：由
(1)知$∠BAE=∠CBF$。
∵$∠BAE+∠AEB=90^{\circ}$，
∴$∠CBF+∠AEB=90^{\circ}$，
∴$∠BGE=90^{\circ}$，即$AE⊥BF$。

9. 如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是边DC和CB延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF。
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC=4，CE=1，求△AEF的面积。

（1）证明：∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=AD=BC=CD$，$∠BAD=∠ABC=∠ADE=90^{\circ}$，
∴$∠ABF=90^{\circ}=∠ADE$。
∵$AB=AD$，$∠ABF=∠ADE$，$BF=DE$，
∴$\triangle ADE≌\triangle ABF$(SAS)；
（2）解：∵$BC=4$，$CE=1$，
∴$AD=4$，$DE=3$，
由勾股定理，得$AE^{2}=AD^{2}+DE^{2}=25$。
∵$\triangle ADE≌\triangle ABF$，
∴$AF=AE$，$∠BAF=∠DAE$，
∴$∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90^{\circ}$，
即$∠EAF=90^{\circ}$，
∴$S_{\triangle AEF}=\frac{1}{2}AE×AF=\frac{1}{2}AE^{2}=$$\frac{25}{2}$，
∴$\triangle AEF$的面积为$\frac{25}{2}$。

答案：
(1)证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=AD=BC=CD$，$∠BAD=∠ABC=∠ADE=90^{\circ}$，
∴$∠ABF=90^{\circ}=∠ADE$。
∵$AB=AD$，$∠ABF=∠ADE$，$BF=DE$，
∴$\triangle ADE≌\triangle ABF(SAS)$；
(2)解：
∵$BC=4$，$CE=1$，
∴$AD=4$，$DE=3$，
由勾股定理，得$AE^{2}=AD^{2}+DE^{2}=25$。
∵$\triangle ADE≌\triangle ABF$，
∴$AF=AE$，$∠BAF=∠DAE$，
∴$∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90^{\circ}$，
即$∠EAF=90^{\circ}$，
∴$S_{\triangle AEF}=\frac{1}{2}AE×AF=\frac{1}{2}AE^{2}=\frac{25}{2}$，
∴$\triangle AEF$的面积为$\frac{25}{2}$。

10. 如图，在正方形ABCD中，AB=6，动点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°，连接EF。
（1）求证：EF=BE+DF；
（2）若BE=3，求线段DF的长。

答案：

(1)证明：如图，延长$CB$到点$G$，使$BG=DF$，连接$AG$。
∵$AD=AB$，$∠ABG=∠ADF =90^{\circ}$，
∴$\triangle ADF≌\triangle ABG(SAS)$，
∴$AF=AG$，$∠DAF=∠BAG$。
∵四边形$ABCD$为正方形，
∴$∠BAD=90^{\circ}$
∵$∠EAF=45^{\circ}$，
∴$∠BAE+∠DAF=45^{\circ}$，
∴$∠BAG+∠BAE=45^{\circ}=∠EAF$。
在$\triangle AGE$和$\triangle AFE$中，$\left\{\begin{array}{l} AG=AF,\\ ∠GAE=∠EAF,\\ AE=AE,\end{array}\right.$
∴$\triangle AGE≌\triangle AFE(SAS)$，
∴$GE=EF$。
∵$GE=GB+BE=BE+DF$，
∴$EF=BE+DF$。
(2)解：设$DF=a$，则$CF=6 - a$。
∵$BE=3$，$BC=AB=6$，
∴$CE=3$。
∵$EF=BE+DF=3 + a$，
$CE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$，
∴$3^{2}+(6 - a)^{2}=(3 + a)^{2}$，解得$a=2$，
∴$DF=2$。