《2025年春如金卷课时作业AB本九年级数学上册北师大版》

4.黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品。在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC=16cm，那么AB的长为（C）

A. $24 - 8 \sqrt { 5 } c m$
B. $48 - 16 \sqrt { 5 } c m$
C. $8 \sqrt { 5 } - 8 c m$
D. $16 \sqrt { 5 } - 16 c m$

答案： C

5.一条线段的黄金分割点有（B）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 无数个

答案： B

6.已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若线段AB=1，则线段AP的长是（A）
A. $\frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 }$
B. $3 - \sqrt { 5 }$
C. $\sqrt { 5 } - 1$
D. $2 - \sqrt { 5 }$

答案： A

7.如图，扇子的圆心角为$x ^ { \circ }$，余下的扇形的圆心角为$y ^ { \circ }$，x与y的比通常按黄金比设计，这样的扇子外形较美观，若取黄金比为0.6，则x为（B）

A. 216
B. 135
C. 120
D. 108

答案： B

8.生活中到处可见黄金分割的美。如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下高度a与全身的高度b比值接近黄金比，可以增加视觉美感。若图中b为2m，则a为$(\sqrt{5}-1)$m。

答案： $(\sqrt{5}-1)$

9.已知线段AB=1，C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，求AC−BC的值。

答案： 解：根据C为AB的黄金分割点，AC＞BC，得$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
∵AB=1，
∴AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，BC=AB-AC=$1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴AC-BC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}-\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}-2$。

10.【例题呈现】化简：$\frac { 1 } { \sqrt { 2 } - 1 }$。
思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化。
解：将分子、分母同乘$\sqrt { 2 } + 1$，得$\frac { \sqrt { 2 } + 1 } { ( \sqrt { 2 } - 1 ) ( \sqrt { 2 } + 1 ) } = \sqrt { 2 } + 1$。
【类比应用】
（1）化简：$\frac { 4 } { \sqrt { 5 } + 1 } =$$\sqrt{5}-1$；
（2）宽与长的比为$\frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 }$的矩形叫作黄金矩形。如图，已知黄金矩形ABCD（AB＜BC）的边AB=2，剪掉一个以AB为边的正方形ABEF后，得到新的矩形CDFE。
①求BC的长；
②通过计算说明矩形CDFE是否为黄金矩形。

答案： 解：
(1)$\sqrt{5}-1$；
(2)①
∵四边形ABCD是黄金矩形(AB＜BC)，AB=2，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
解得：BC=$\frac{2AB}{\sqrt{5}-1}=\frac{4}{\sqrt{5}-1}=\frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\sqrt{5}+1$，
∴BC的长为$\sqrt{5}+1$；
②
∵四边形ABEF是正方形，
∴AB=BE=2，
∵BC=$\sqrt{5}+1$，
∴CE=BC-BE=$\sqrt{5}+1-2=\sqrt{5}-1$，
∵四边形CDFE是矩形，
∴CD=AB=2，
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴矩形CDFE是黄金矩形。