《2025年春如金卷课时作业AB本九年级数学上册北师大版》

11. 如图，一次函数$y=k_{1}x+b$的图象经过$A(0,-2)$，$B(1,0)$两点，与反比例函数$y=\frac{k_{2}}{x}$的图象在第一象限内的交点为$M(m,4)$。
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点$C$是线段$AM$上一点，若$S_{\triangle OCM}=\frac{1}{3}S_{\triangle AMO}$，求点$C$的坐标。
（1）一次函数的解析式为$y=2x-2$，反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$。
（2）点$C$的坐标为$(2,2)$。

答案： 解:
(1)将$A(0,-2)$，$B(1,0)$代入$y = k_1x + b$，得$\begin{cases}b = -2\\k_1 + b = 0\end{cases}$解得$k_1 = 2$，$b = -2$。所以一次函数的解析式为$y = 2x - 2$。将$M(m,4)$代入$y = 2x - 2$中，得$4 = 2m - 2$。解得$m = 3$。所以点$M$的坐标为$(3,4)$。因为反比例函数$y = \frac{k_2}{x}$的图象过点$M(3,4)$，得$4 = \frac{k_2}{3}$。解得$k_2 = 12$。所以反比例函数的解析式为$y = \frac{12}{x}$。
(2)根据题意，得$S_{\triangle AMO} = \frac{1}{2}×2×3 = 3$。则$S_{\triangle OCM} = \frac{1}{3}S_{\triangle AMO} = 1$。可得$S_{\triangle AOC} = S_{\triangle AMO} - S_{\triangle OCM} = 3 - 1 = 2$。由$OA = 2$可知点$C$的横坐标为$2$。将$x = 2$代入$y = 2x - 2$中，得$y = 2$。所以点$C$的坐标为$(2,2)$。

12. 某疫苗生产企业月生产数量$y$（万支）与月份$x$之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
（1）该企业4月份的生产数量为45万支？
（2）该企业有6个月的月生产数量不超过90万支？

答案： 解:
(1)当$1\leq x\leq4$时，设$y$与$x$的函数关系式为$y = \frac{k}{x}$，
∵点$(1,180)$在该函数图象上，
∴$180 = \frac{k}{1}$，得$k = 180$，
∴$y = \frac{180}{x}$，当$x = 4$时，$y = \frac{180}{4} = 45$，即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支;
(2)设技术改造完成后对应的函数解析式为$y = ax + b$，
∵点$(4,45)$，$(5,60)$在该函数图象上，
∴$\begin{cases}4a + b = 45\\5a + b = 60\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 15\\b = -15\end{cases}$，
∴技术改造完成后对应的函数解析式为$y = 15x - 15$，由题意得$\begin{cases}\frac{180}{x}\leq90\\15x - 15\leq90\end{cases}$解得$2\leq x\leq7$，经检验符合题意，
∵$x$为正整数，
∴$x = 2,3,4,5,6,7$，答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支。

13. 如图1，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=4$，动点$D$从点$B$出发，沿着折线$B\to C\to A$（含端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到达$A$点停止运动。设点$D$的运动时间为$t$，点$D$到$AB$的距离$DG$为$y_{1}$，请解答下列问题：
（1）直接写出$y_{1}$关于$t$的函数关系式，并写出$t$的取值范围；
（2）在图2的直角坐标系中画出（1）中$y_{1}$关于$t$的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）若函数$y_{2}=\frac{6}{t}(t＞0)$的图象如图2所示，结合函数图象，直接估计当$y_{1}\leqslant y_{2}$时$t$的取值范围。（保留1位小数，误差不超过0.2）

答案：
解:
(1)
∵$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，
∴$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，当点$D$在线段$BC$上，如图1.1，$0\leq t\leq4$，$BD = t$，
∵$\angle DGB = \angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle B = \angle B$，

∴$\triangle DGB\sim\triangle ACB$，
∴$\frac{DG}{AC} = \frac{BD}{AB}$，
∴$\frac{y}{3} = \frac{t}{5}$，
∴$y = \frac{3}{5}t$；当点$D$在线段$AC$上，如图1.2，$4\lt t\leq7$，$AD = 7 - t$，
∵$\angle DGA = \angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = \angle A$，

∴$\triangle DGA\sim\triangle BCA$，
∴$\frac{DG}{BC} = \frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{y}{4} = \frac{7 - t}{5}$，
∴$y = -\frac{4}{5}t + \frac{28}{5}$；综上，$y = \begin{cases}\frac{3}{5}t(0\leq t\leq4)\\-\frac{4}{5}t + \frac{28}{5}(4\lt t\leq7)\end{cases}$；
(2)列表得:
t　　　　　0　　　　　4　　　　　7
y　　　　　0　　　　　2.4　　　　0
在图2的直角坐标系中画出$y$的图象，如图3:

由图可得，当$0\leq x\leq4$时，$y$的值随着$x$的增大而增大，当$4\lt x\leq7$时，$y$的值随着$x$的增大而减小;
(3)函数$y_2 = \frac{6}{t}(t\gt0)$的图象如图2，由图可知:当$y_1\leq y_2$时，表明函数的图象在$y_1$的图象上方或两者的相交位置，由图象可知此时$0\lt t\leq3.2$或$5.7\leq t\leq7$。