《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

24. 已知倾斜角为45°的直线l过点A(1， - 2)和点B，B在第一象限，|AB| = 3$\sqrt{2}$.
(1)求点B的坐标；
(2)若直线l与双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}$ = 1(a ＞ 0)相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为(4，1)，求a的值.

答案： 解：
(1)直线$AB$方程为$y = x - 3$，设点$B(x, y)$，由$\begin{cases}y = x - 3\\(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 18\end{cases}$，及$x ＞ 0$，$y ＞ 0$得$x = 4$，$y = 1$，$\therefore$点$B$的坐标为$(4, 1)$
(2)由$\begin{cases}y = x - 3\\\frac{x^2}{a^2}-y^2 = 1\end{cases}$得，$(\frac{1}{a^2}-1)x^2 + 6x - 10 = 0$，设$E(x_1, y_1)$，$F(x_2, y_2)$，则$x_1 + x_2=\frac{6a^2}{a^2 - 1}=4$，得$a = 2$