《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

22. 在△ABC中，已知a = 1，b = 2，$\cos C=-\frac{1}{4}$.
(1)求△ABC的面积；(2)求$\cos A$的值.

答案：
(1)$\because\triangle ABC$中，$\cos C=-\frac{1}{4}$，
$\therefore\sin C=\sqrt{1-\cos^{2}C}=\sqrt{1 - (-\frac{1}{4})^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times1\times2\times\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{\sqrt{15}}{4}$
(2)由余弦定理得$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C = 6$，
$\therefore c=\sqrt{6}$，
又由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$得$\frac{1}{\sin A}=\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$，
解得$\sin A=\frac{\sqrt{10}}{8}$.
$\because\triangle ABC$中，$A$为锐角，
$\therefore\cos A=\sqrt{1-\sin^{2}A}=\frac{3\sqrt{6}}{8}$

23. 已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项的和为Sₙ，Sₖ = 2550.
(1)求a及k的值；
(2)求$\frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}+\cdots+\frac{1}{S_{n}}$.

答案：
(1)由题得$a + 3a = 8$，即$a = 2$，所以数列的首项为2，公差为2
则前$n$项和$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d=n^{2}+n$
令$S_{k}=k^{2}+k = 2550$，解得：$k = 50$或$k=-51$(舍负)
(2)由
(1)得$\frac{1}{S_{n}}=\frac{1}{n^{2}+n}=\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$，
$\therefore\frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}+\cdots+\frac{1}{S_{n}}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})=\frac{n}{n + 1}$

24. 设椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1$的焦点在x轴上，其离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：y = x + m与椭圆C相交，求m的取值范围，并求m为何值时，相交弦长度最大.

答案：
(1)由题意得：$b = 1$，$c=\sqrt{a^{2}-1}$，则$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$a = 2$
所以椭圆$C$的方程为$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$
(2)将直线$l:y = x + m$代入椭圆$C$的方程，得$\frac{x^{2}}{4}+(x + m)^{2}=1$
整理，得$5x^{2}+8mx + 4(m^{2}-1)=0$
由题可得判别式$\triangle＞0$得：$-\sqrt{5}\lt m\lt\sqrt{5}$
令直线$l$与椭圆$C$相交于$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$两点，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{8m}{5}$，$x_{1}x_{2}=\frac{4(m^{2}-1)}{5}$. 由弦长公式得：$d=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{80 - 16m^{2}}{25}}$，所以$m = 0$时，相交弦长有最大值