《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

11. 函数y = cos⁴x - sin⁴x的最小正周期是( )
A. $\frac{\pi}{2}$
B. $\frac{3\pi}{4}$
C. $\pi$
D. 2$\pi$

答案： C

12. 双曲线$\frac{y^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{b^{2}}$ = 1的离心率为2，则虚轴长是( )
A. $\sqrt{6}$
B. 2$\sqrt{6}$
C. $\sqrt{10}$
D. 2$\sqrt{10}$

答案： B

13. 数列{$a_{n}$}中，已知前n项和$S_{n}$ = $n^{2}$ - n，则$a_{11}$ = ( )
A. 20
B. 21
C. 25
D. 29

答案： A

14. 一个容量为50的样本数据，分组后频数分布表如下:

则样本在区间[30，90)上的频率为( )
A. 0.2
B. 0.5
C. 0.7
D. 0.9

答案： C

15. 已知直线l：x tanα - y - 3tanβ = 0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan(α + β) = ( )
A. -$\frac{7}{3}$
B. $\frac{7}{3}$
C. $\frac{5}{7}$
D. 1

答案： D

16. 计算：logₚ1 + lne + lg100 = ________.

答案： 3

17. 已知点A(1， - 2)，B( - 3，1)，C(3，4)，则$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ = ________.

答案： (2，6)

18. 函数f(x) = 3$^{x}$ - 1的反函数为g(x)，则g(0) = ________.

答案： 0

19. 圆C与圆$x^{2}+y^{2}-2x + 4y = 0$有相同的圆心，且圆C与x轴相切，则圆C的方程为________.

答案： $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$

20. 已知：α，β为锐角，cosα = $\frac{1}{7}$，cos(α + β) = -$\frac{11}{14}$，则sinβ = ________.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

21. 在数列{$a_{n}$}中，$a_{3}$ = 7，$a_{n + 1}$ = $a_{n}$ + 2.
(1)求数列{$a_{n}$}的通项公式以及前n项和公式；
(2)若数列{$a_{n}$}的前n项和$S_{n}$满足$b_{n}$ = $\frac{2}{S_{n}}$，求数列{$b_{n}$}的前n项和$T_{n}$.

答案： 解：
(1)对于$n\in\mathbf{N}^*$，有$a_{n + 1}-a_n = 2$，则数列$\{a_n\}$为等差数列，公差$d = 2$，又$\because a_3 = a_1 + 2d = a_1 + 2\times2 = 7$，$\therefore a_1 = 3$，因此数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = a_1+(n - 1)d = 3+(n - 1)\times2 = 2n + 1(n\in\mathbf{N}^*)$，前$n$项和为$S_n=\frac{(a_1 + a_n)n}{2}=\frac{(3 + 2n + 1)n}{2}=n^2 + 2n$
(2)由
(1)可得$S_n = n^2 + 2n = n(n + 2)$，又由已知得，$b_n=\frac{2}{S_n}=\frac{2}{n(n + 2)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 2}$，所以$T_n = b_1 + b_2 + b_3+\cdots + b_n=(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 2})=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n + 1}-\frac{1}{n + 2}=\frac{3n^2 + 5n}{2n^2 + 6n + 4}$