《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

24. 已知抛物线y² = 2px(p ＞ 0)的焦点为F，点M在抛物上，且点M的横坐标为4，|MF| = 5.
(1)求抛物线的方程；
(2)设过焦点F且倾斜角为45°的直线l交抛物线于A、B两点，求线段AB的长.

答案： 解：
(1)由题意得$\vert MF\vert = 4+\frac{p}{2}=5$，
$\therefore p = 2$，故抛物线方程为$y^{2}=4x$
(2)直线$l$的方程为$y - 0=\tan45^{\circ}\cdot(x - 1)$，即$y = x - 1$，与抛物线方程联立，得$\begin{cases}y = x - 1\\y^{2}=4x\end{cases}$，消$y$，整理得$x^{2}-6x + 1 = 0$，其两根为$x_{1}$，$x_{2}$，且$x_{1}+x_{2}=6$，由抛物线的定义可知，$\vert AB\vert=x_{1}+x_{2}+p = 6 + 2 = 8$. 所以，线段$AB$的长是8.