《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

22. 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a = 3，b = 4，C为锐角，且其面积为$S_{△ABC}$ = 4$\sqrt{2}$.
(1)求sin(A + B)的值；
(2)求c的值.

答案： 解：
(1)由三角形面积公式得，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times3\times4\times\sin C = 4\sqrt{2}$，得$\sin C=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，所以$\sin(A + B)=\sin(\pi - C)=\sin C=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
(2)由
(1)得，且$\angle C$为锐角，$\therefore\cos C=\sqrt{1 - \sin^2C}=\sqrt{1 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2}=\frac{1}{3}$，由余弦定理得，$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 3^2 + 4^2 - 2\times3\times4\times\frac{1}{3}=17$，故$c = \sqrt{17}$

23. 如图所示的等腰三角形△OAB，∠B为120°，C，D分别是腰OB，AB上的点，点B的坐标为(3，$\sqrt{3}$)，CD//EF，CE⊥EF，四边形EFDC为矩形，设OE = x.
(1)设矩形EFDC的面积为S，则写出关于S与x的函数关系式；
(2)当x为何值时，面积S最大？最大面积为多少？

答案： 解：
(1)如上图，过点$B$作$BH\perp OA$交$OA$于点$H$，依题意得，$OH = 3$，$EH = 3 - x$，$EF = 2(3 - x)=6 - 2x$，在等腰三角形$OAB$中，有$\angle AOB = 30^{\circ}$，而在$Rt\triangle OCE$中，有$CE = x\cdot\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，所以$S = CE\cdot EF=\frac{\sqrt{3}}{3}x(6 - 2x)=-\frac{2\sqrt{3}}{3}x^2 + 2\sqrt{3}x(0 ＜ x ＜ 3)$
(2)由
(1)得，$S = -\frac{2\sqrt{3}}{3}x^2 + 2\sqrt{3}x = -\frac{2\sqrt{3}}{3}(x - \frac{3}{2})^2+\frac{3\sqrt{3}}{2}(0 ＜ x ＜ 3)$，故当$x = \frac{3}{2}$时，$S$有最大值，最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$