《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

24. 已知中心在坐标原点，焦点$F_{1}$，$F_{2}$在$x$轴上的椭圆$C$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，抛物线$x^{2} = - 4y$的焦点是椭圆$C$的一个顶点.
(1)求椭圆$C$的方程；
(2)已知过焦点$F_{2}$的直线$l$与椭圆$C$的两个交点为$M$和$N$，且$|MN| = 3$，求$|MF_{1}| + |NF_{1}|$.

答案： 解：
(1)依题意，设所求椭圆$C$的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$，由抛物线$x^{2} = -4y = -2py$，解得$p = 2$，所以抛物线的焦点坐标为$(0,-1)$，即为椭圆的顶点，所以$b = 1$，
又离心率$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a} = \frac{\sqrt{a^{2} - 1}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得$a^{2} = 4$，$\therefore$所求椭圆$C$的方程为$\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$
(2)由
(1)知$a = 2$，又$\because M$，$N$是直线$l$与椭圆$C$的交点，根据椭圆的定义得，
$|MF_{1}| + |MF_{2}| = 2a$，$|NF_{1}| + |NF_{2}| = 2a$，
$\therefore |MF_{1}| + |MF_{2}| + |NF_{1}| + |NF_{2}| = 2a + 2a = 4a = 8$，即
$|MF_{1}| + |NF_{1}| + (|MF_{2}| + |NF_{2}|) = |MF_{1}| + |NF_{1}| + |MN| = 8$
所以$|MF_{1}| + |NF_{1}| = 8 - |MN| = 8 - 3 = 5$