《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

22. 在锐角△ABC中，已知a = 6，c = 2$\sqrt{3}$，S△ABC = 3$\sqrt{3}$.
(1)求sinB的值；
(2)求b的值.

答案： 解：
(1)$\because S_{\triangle}=\frac{1}{2}ac\sin B$，即$3\sqrt{3}=\frac{1}{2}\times6\times2\sqrt{3}\sin B$
$\therefore\sin B=\frac{1}{2}$
(2)$\because\sin B=\frac{1}{2}$，且$B$为锐角
$\therefore\angle B = 30^{\circ}$
由$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B=6^{2}+(2\sqrt{3})^{2}-2\times6\times2\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=12$，得$b = 2\sqrt{3}$

23. 在等比数列{aₙ}中，已知a₂ = 2，aₙ₊₁ = 2aₙ.
(1)求等比数列{aₙ}的通项公式aₙ；
(2)设bₙ = log₂aₙ，求数列{bₙ}的前n项和Sₙ；

答案： 解：
(1)$\because$由$a_{n + 1}=2a_{n}\Rightarrow q=\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=2$
$\therefore a_{1}=\frac{a_{2}}{q}=1$，$a_{n}=1\times2^{n - 1}$
(2)$\because b_{n}=\log_{2}a_{n}=\log_{2}2^{n - 1}=n - 1$
$\therefore S_{n}=\frac{n(b_{1}+b_{n})}{2}=\frac{n^{2}-n}{2}(n\in\mathbf{N}_{+})$

24. 已知椭圆C的焦点F₁( - 2$\sqrt{2}$，0)和F₂(2$\sqrt{2}$，0)，长轴长为6.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线y = x + 2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的中点坐标.

答案： 解：
(1)$\because c = 2\sqrt{2}$，$a = 3$，$b=\sqrt{a^{2}-c^{2}} = 1$
$\therefore$椭圆方程为$\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$
(2)联立方程组$\begin{cases}\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1\\y = x + 2\end{cases}$，消去$y$得$10x^{2}+36x + 27 = 0$
则$x_{1}+x_{2}=-\frac{18}{5}$，$y_{1}+y_{2}=x_{1}+x_{2}+4=\frac{2}{5}$
故线段$AB$中点$B$的坐标为$(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})=(-\frac{9}{5},\frac{1}{5})$