《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

22. $\triangle ABC$中，点$D$在边$BC$上，且$BD = 4$，$DC = 2$，$\angle B = 60^{\circ}$，$\angle ADC = 150^{\circ}$，求$AC$的长及$\triangle ACD$的面积.

答案： 解：$\because BD = 4$，$DC = 2$，$\angle B = 60^{\circ}$，$\angle ADC=150^{\circ}$
$\because\angle BAD = 150^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$
$\therefore\angle ADB = 180^{\circ}-\angle ADC = 30^{\circ}$
$\therefore AB=\frac{1}{2}BD = 2$，$BC = BD + CD = 6$
$\triangle ABC$中，由余弦定理有
$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos60^{\circ}=2^{2}+6^{2}-2\times2\times6\times\frac{1}{2}=28$
$\therefore AC = 2\sqrt{7}$
直角$\triangle ABD$中，
$AD=\sqrt{BD^{2}-AB^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}$
$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AD\cdot DC\cdot\sin\angle ADC=\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}\times2\times\frac{1}{2}=\sqrt{3}$

23. 已知数列$\{a_{n}\}$是等差数列，且公差$d ＞ 0$，其中$a_{2}+a_{4}=12$，$a_{2}\cdot a_{4}=32$.
(1)求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
(2)设$b_{n}=\sqrt{2^{a_{n}}}$，求数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： 解：
(1)已知数列$\{a_{n}\}$是等差数列，则$a_{2}=a_{1}+d$，$a_{4}=a_{1}+3d(d\gt0)$
由$\begin{cases}(a_{1}+d)+(a_{1}+3d)=12\\(a_{1}+d)\times(a_{1}+3d)=32\end{cases}$得$\begin{cases}a_{1}=2\\d = 2\end{cases}$
$\therefore a_{n}=a_{1}+(n - 1)d=2+(n - 1)\times2=2n$
(2)由题可知：$b_{n}=\sqrt{2^{a_{n}}}=\sqrt{2^{2n}}=2^{n}$
$\therefore\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}=\frac{2^{n + 1}}{2^{n}}=2$
又$b_{1}=2$
$\therefore$数列$\{b_{n}\}$是以公比为2的等比数列
$\therefore T_{n}=\frac{b_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}=\frac{2\times(1 - 2^{n})}{1 - 2}=2^{n + 1}-2$

24. 已知椭圆$C$的中心在坐标原点，两焦点$F_{1}$，$F_{2}$在$x$轴上，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆上一点$P$到两焦点$F_{1}$和$F_{2}$的距离之和为12. 圆$C_{k}:x^{2}+y^{2}+2kx - 4y - 21 = 0(k\in\mathbf{R})$的圆心为点$A_{k}$.
(1)求椭圆$C$的方程；
(2)求$\triangle A_{k}F_{1}F_{2}$的面积；
(3)若$k = 0$，判断圆$C_{0}$与椭圆$C$是否有交点?

答案：
解：
(1)由已知得$\begin{cases}\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\2a = 12\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a = 6\\c = 3\sqrt{3}\end{cases}$
$b^{2}=a^{2}-c^{2}=6^{2}-(3\sqrt{3})^{2}=9$
椭圆方程为$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1$
(2)将圆$C_{k}:x^{2}+y^{2}+2kx - 4y - 21 = 0(k\in\mathbf{R})$的方程化为
$(x + k)^{2}+(y - 2)^{2}=k^{2}+25$
圆心$A_{k}(-k,2)$，落在直线$y = 2$上
作$A_{k}M\perp F_{1}F_{2}$于$M$，则$\vert A_{k}M\vert = 2$
由
(1)知$\vert F_{1}F_{2}\vert = 2c = 6\sqrt{3}$
所以$\triangle A_{k}F_{1}F_{2}$的面积为
$S_{\triangle A_{k}F_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}\vert F_{1}F_{2}\vert\cdot\vert A_{k}M\vert=\frac{1}{2}\times6\sqrt{3}\times2=6\sqrt{3}$

(3)若$k = 0$，
由
(2)知圆的方程为$x^{2}+(y - 2)^{2}=25$，圆心坐标为$C_{0}(0,2)$，半径为5
又椭圆短半轴长为3，
所以$r=\vert C_{0}N\vert = 5$，圆$C_{0}$必过椭圆的短轴端点$N$
因此圆$C_{0}$与椭圆$C$有交点