《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

22. 已知锐角$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，且$a = 4$，$\sin B=\frac{4}{5}$.
(1)若$b = 8$，求$\cos A$的值；
(2)若$\triangle ABC$的面积$S_{\triangle ABC}=8$，求$b$，$c$的值.

答案： 解：
(1)依题意得，由正弦定理得，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，即$\frac{4}{\sin A}=\frac{8}{\frac{4}{5}}$，解得$\sin A=\frac{2}{5}$，又$\because\triangle ABC$为锐角三角形，故$\cos A=\sqrt{1 - (\frac{2}{5})^{2}}=\frac{\sqrt{21}}{5}$；
(2)依题意得，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\times4\times c\times\frac{4}{5}=8$，解得$c = 5$，又$\because\triangle ABC$为锐角三角形，$\therefore\cos B=\sqrt{1 - (\frac{4}{5})^{2}}=\frac{3}{5}$，由余弦定理得，$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot\cos B = 17$，$b=\sqrt{17}$

23. 如图所示，边长为 2 的正方形$OABC$，$E$为$BC$边上的中点，$D$为$AB$边上的一个动点.
(1)求点$A$、点$B$、点$C$以及点$E$的坐标；
(2)若设点$D$的坐标为$(2,a)$，$(0 ＜ a\leqslant2)$，当$a$取何值时，$\triangle OED$是$\triangle OAD$面积的一半?

答案： 解：
(1)由题意得，点$A$的坐标为$(2,0)$，点$B$的坐标为$(2,2)$，点$C$的坐标为$(0,2)$，点$E$的坐标为$(1,2)$
(2)由于$\triangle OAD$为$Rt\triangle$，故$S_{\triangle OAD}=\frac{1}{2}\times2\times a=a$，$|OE|=\sqrt{(1 - 0)^{2}+(2 - 0)^{2}}=\sqrt{5}$，直线$OE$的斜率为$k=\frac{2 - 0}{1 - 0}=2$，直线$OE$的方程为$2x - y = 0$，则点$D$到直线$OE$的距离为$d=\frac{|2\times2 - a|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\frac{4 - a}{\sqrt{5}}$，故$S_{\triangle OED}=\frac{1}{2}\times\sqrt{5}\times\frac{4 - a}{\sqrt{5}}=\frac{4 - a}{2}$，又$\because S_{\triangle OAD}=2S_{\triangle OED}$，$\therefore a = 2\times\frac{4 - a}{2}$，解得$a = 2$，因此当$a = 2$时，$S_{\triangle OAD}=2S_{\triangle OED}$

24. 已知双曲线$C$：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的离心率为$\sqrt{3}$，其中一个顶点坐标为$( - 1,0)$.
(1)求双曲线$C$的方程；
(2)已知直线$x - y + m = 0$与双曲线$C$交于不同的两点$A$、$B$，且线段$AB$的中点在圆$x^{2}+y^{2}=5$上，求$m$的值.

答案： 解：
(1)已知一个顶点为$(-1,0)$，$\therefore a = 1$，又$e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$，$\therefore c=\sqrt{3}$，$\therefore b^{2}=c^{2}-a^{2}=\sqrt{3}^{2}-1^{2}=2$，$\therefore$双曲线$C$的方程为：$x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$
(2)设$A$、$B$两点的坐标分别的$(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$，线段$AB$的中点为$M(x_{0},y_{0})$，由$\begin{cases}x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1\\x - y + m = 0\end{cases}$得：$x^{2}-2mx-(m^{2}+2)=0$，$\therefore x_{1}+x_{2}=2m$，$\therefore x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=m$，$y_{0}=x_{0}+m = 2m$，已知点$M$在圆$x^{2}+y^{2}=5$上，$\therefore x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=5$，即：$m^{2}+(2m)^{2}=5$，解得：$m=\pm1$