《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

22. 在△ABC中，已知A = 45°，cosB = $\frac{\sqrt{10}}{10}$.
(1)求cosC；(2)若BC = $\sqrt{5}$，求△ABC的面积.

答案： 解：
(1)$\because\cos B=\frac{\sqrt{10}}{10}$，且$0^{\circ}＜B＜180^{\circ}$
$\therefore\sin B=\sqrt{1-\cos^{2}B}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$
$\therefore\cos C=\cos[180^{\circ}-(A + B)]=-\cos(A + B)=\sin A\sin B-\cos A\cos B=\frac{\sqrt{5}}{5}$
(2)$\sin C=\sqrt{1-\cos^{2}C}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，根据正弦定理有：$AC=\frac{BC\cdot\sin B}{\sin A}=3$
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC\cdot\sin C = 3$

23. 如图，|AO| = 5，|OD| = 12，|AB| = 4$\sqrt{2}$，∠OAB = 135°.
(1)求点B的坐标；
(2)设|OQ| = x，点P为AB上的动点，记直角三角形PQD的面积为S₁，五边形OABCD的面积为S₂，若S₁∶S₂ = 9∶25，求x的值及点P的坐标.

答案：
解：
(1)延长$CB$交$y$轴于$G$
$\because\angle OAB = 135^{\circ}$，$\therefore\angle BAG = 45^{\circ}$，
又$\because\vert AB\vert = 4\sqrt{2}$，$\therefore AG = BG = 4$，
又$\because\vert AO\vert = 5$
$\therefore B(4, 9)$
(2)作平行于$x$轴的辅助线$AF$，交$PQ$、$CD$于点$E$、$F$

$\because\vert OQ\vert = x$，$\angle OAB = 135^{\circ}$，$\therefore\angle PAE = 45^{\circ}$
$\therefore\vert AE\vert=\vert PE\vert = x$
$S_{1}=\frac{1}{2}\times\vert PQ\vert\times\vert QD\vert=\frac{1}{2}\times(5 + x)\times(12 - x)$
$S_{2}=S_{ABCF}+S_{AFDO}=\frac{1}{2}\times(\vert BC\vert+\vert AF\vert)\times\vert CF\vert+\vert AO\vert\times\vert OD\vert=\frac{1}{2}\times[(12 - 4)+12]\times4 + 5\times12 = 100$
$\because S_{1}:S_{2}=9:25$
$\therefore S_{1}=36$
$\therefore\frac{1}{2}\times(5 + x)\times(12 - x)=36$
解得$x = 3$或$x = 4$
当$x = 3$时，$P(3, 8)$
当$x = 4$时，$P(4, 9)$