《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

11. 在数列$\{a_{n}\}$中，若$a_{n + 1}-a_{n}=4$，$a_{5}=18$，则$a_{1}=(\ \ \ \ )$
A. 2
B. 4
C. 6
D. 10

答案： A

12. 若$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且$x ＞ 0$时，$f(x)=x^{2}-3x$，则$f( - 2)=(\ \ \ \ )$
A. $-2$
B. $-1$
C. 0
D. 2

答案： D

13. 抛物线$y^{2}=4x$上的一点$P$到其焦点$F$的距离为 4，则它的横坐标是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

答案： B

14. 已知平面向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$60^{\circ}$，且$|\boldsymbol{a}| = 2\cos15^{\circ}$，$|\boldsymbol{b}| = 3\sin15^{\circ}$，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=(\ \ \ \ )$
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{3}{2}$
D. 3

答案： B

15. 已知：$\alpha\in(\pi,\frac{3\pi}{2})$，$\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}$，则$\sin\alpha$的值是( )
A. $-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
B. $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
C. $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
D. $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

答案： A

16. 计算：$\lg2+\lg50 =$_______.

答案： 2

17. 在等比数列$\{a_{n}\}$中，$a_{n}＞0$，若$a_{3}a_{7}+a_{4}a_{6}=50$，则$a_{5} =$_______.

答案： 5

18. 已知$\tan\alpha = 3$，则$\frac{4\cos\alpha-\sin\alpha}{\sin\alpha + 2\cos\alpha}=$_______.

答案： $\frac{1}{5}$

19. 若直线$x + 2y + 1 = 0$与直线$2x - ay - 1 = 0$垂直，则$a =$_______.

答案： 1

20. 已知$\overline{x}$是$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，$\cdots$，$x_{10}$的平均值，其中$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，$x_{4}$的平均值为 7，且$x_{5}$，$x_{6}$，$\cdots$，$x_{10}$的平均值为 8，则$\overline{x} =$_______.

答案： 7.6

21. 已知等差数列$\{a_{n}\}$，满足$a_{1}+a_{3}=8$，$a_{5}+a_{7}=32$.
(1)求数列$\{a_{n}\}$的通项公式以及前$n$项和$S_{n}$；
(2)设$b_{n}=(\frac{1}{2})^{a_{n}}$，求数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： 解：
(1)在等差数列$\{a_{n}\}$中，有$\begin{cases}a_{1}+a_{3}=2a_{1}+2d = 8\\a_{5}+a_{7}=2a_{1}+10d = 32\end{cases}$，解得$\begin{cases}a_{1}=1\\d = 3\end{cases}$，故其通项公式是$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d=3n - 2$，前$n$项和为$S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})n}{2}=\frac{n(3n - 1)}{2}$
(2)由
(1)得$b_{n}=(\frac{1}{2})^{3n - 2}$，对于$n\in\mathbf{N}_{+}$，有$\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}=\frac{(\frac{1}{2})^{3(n + 1)-2}}{(\frac{1}{2})^{3n - 2}}=\frac{1}{8}$，则数列$\{b_{n}\}$为等比数列，且首项$b_{1}=\frac{1}{2}$，公比$q=\frac{1}{8}$. 因此其前$n$项公式为$T_{n}=\frac{b_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}=\frac{4}{7}-\frac{4}{7}(\frac{1}{8})^{n}$