《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

12. 椭圆$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$的焦距为( )
A. 10
B. 15
C. $2\sqrt{7}$
D. $\sqrt{7}$

答案： C

13. 已知函数$f(x) = \log_{2}(ax + b)$，$f(2) = 2$，$f(3) = 3$，则$f(5) = (\ \ \ \ \ )$
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8

答案： A

14. 圆心在$y$轴上，半径为1，且过点$(1,2)$的圆的方程为( )
A. $x^{2} + (y + 2)^{2} = 1$
B. $x^{2} + (y - 2)^{2} = 1$
C. $(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 1$
D. $x^{2} + (y - 3)^{2} = 1$

答案： B

15. 容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
|组号|1|2|3|4|5|6|7|8|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|频数|10|13|14|14|15|13|12|9|
第3组的频数和频率分别是( )
A. 14和0.14
B. 0.14和14
C. $\frac{1}{14}$和0.14
D. $\frac{1}{3}$和14

答案： A

16. 函数$y = 2 - 3\cos^{2}2x$的最小正周期为_______.

答案： $\frac{\pi}{2}$

17. 不等式$\left|6x - \frac{1}{2}\right|\leqslant\frac{3}{2}$的解集是_______.

答案： $\left[-\frac{1}{6},\frac{1}{3}\right]$

18. 一个袋子中有15个红球，10个白球，它们除了颜色不同外，其他地方没有差别. 现从袋子中随机取出一个球，取出红球的概率是_______.

答案： $\frac{3}{5}$

19. 圆$x^{2} - 6x + y^{2} + 2y - 1 = 0$的圆心到直线$x + \sqrt{3}y - 1 = 0$的距离是_______.

答案： $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$

20. 已知向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{3}{4}\pi$，且$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{2}$，$|\boldsymbol{b}| = 3$，则$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = $_______.

答案： $-3$

21. 现用一条40米的绳子要围一个矩形，问矩形的长和宽各是多少时，围得的矩形面积最大?

答案： 解：设矩形的长为$x$米，则宽为$(20 - x)$米，则矩形的面积为$y = x \cdot (20 - x)(0 ＜ x ＜ 20)$
即$y = x \cdot (20 - x) \leq (\frac{x + 20 - x}{2})^{2} = 100$
当且仅当$x = 20 - x$，即$x = 10$时，面积最大
此时矩形的宽为$20 - x = 20 - 10 = 10$(米)，即矩形的长和宽都为10米，矩形有最大面积