《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

24. 已知椭圆E：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$(a ＞ 0，b ＞ 0)，左右两个焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂| = 2$\sqrt{5}$，离心率e = $\frac{\sqrt{5}}{3}$
(1)求椭圆的方程；
(2)点P(x₀，y₀)为椭圆上一点，当∠F₁PF₂为锐角时，求x₀的取值范围.

答案： 解：
(1)已知$|F_{1}F_{2}|=2\sqrt{5}$，即：$2c = 2\sqrt{5}$，
$\therefore c=\sqrt{5}$，又已知$e=\frac{\sqrt{5}}{3}$，即：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，
$\therefore a = 3$ $\therefore b^{2}=a^{2}-c^{2}=9 - 5 = 4$
$\therefore$所求椭圆方程为：$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$
(2)由
(1)知$c=\sqrt{5}$，
$\therefore$焦点坐标为$F_{1}(-\sqrt{5},0)$，$F_{2}(\sqrt{5},0)$
解法1：当$\angle F_{1}PF_{2}$为锐角时，$\cos\angle F_{1}PF_{2}＞0$
$\because\cos\angle F_{1}PF_{2}=\frac{|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-|F_{1}F_{2}|^{2}}{2|PF_{1}|\times|PF_{2}|}＞0$，即：$|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-|F_{1}F_{2}|^{2}＞0$
$\therefore(x_{0}+\sqrt{5})^{2}+y_{0}^{2}+(x_{0}-\sqrt{5})^{2}+y_{0}^{2}-(2\sqrt{5})^{2}＞0$，化简得：$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-5＞0$
解法2：$\overrightarrow{PF_{1}}=(-\sqrt{5}-x_{0},y_{0})$，$\overrightarrow{PF_{2}}=(\sqrt{5}-x_{0},y_{0})$
当$\angle F_{1}PF_{2}$为锐角时，$\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}＞0$
$\therefore(-\sqrt{5}-x_{0})(\sqrt{5}-x_{0})+y_{0}^{2}＞0$，化简得：$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-5＞0$
由$\frac{x_{0}^{2}}{9}+\frac{y_{0}^{2}}{4}=1$，得：$y_{0}^{2}=4-\frac{4x_{0}^{2}}{9}$
$\therefore x_{0}^{2}+(4-\frac{4x_{0}^{2}}{9})-5＞0$，化简得：$5x_{0}^{2}-9＞0$，
解得：$x_{0}＜-\frac{3\sqrt{5}}{5}$或$x_{0}＞\frac{3\sqrt{5}}{5}$
又$-a ＜ x_{0} ＜ a$，即$-3 ＜ x_{0} ＜ 3$，
$\therefore x_{0}\in(-3,-\frac{3\sqrt{5}}{5})\cup(\frac{3\sqrt{5}}{5},3)$