《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

11. 已知函数$f(x)=A\sin(\omega x+\frac{\pi}{3})$(其中$A ＞ 0$，$\omega ＞ 0$，$x\in\mathbf{R}$)的最小值为 - 3，最小正周期为$\pi$，则$f(x)=(\ )
A. $f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})$
B. $f(x)=3\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3})$
C. $f(x)=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})$
D. $f(x)= - 3\sin(2x+\frac{\pi}{3})$

答案： C

12. 同时掷两个骰子，则向上的点数之和是5的概率是( )
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{9}$

答案： D

13. 过点$P(-1, 1)$且与直线$3x + y - 4 = 0$平行的直线的方程为( )
A. $x - 3y + 2 = 0$
B. $3x + y + 2 = 0$
C. $x - 3y - 2 = 0$
D. $3x + y - 2 = 0$

答案： B

14. 数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{n}=2a_{n - 1}+1(n ＞ 1)$，则$a_{4}=( )
A. 3
B. 7
C. 15
D. 31

答案： C

15. 已知定义域在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$是奇函数，且对任意的$x$，都有$f(x + 4)=f(x)$，满足$f(-1)=1$，则$f(0)+f(5)=( )
A. - 1
B. - 5
C. 1
D. 5

答案： A

16. 双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$的实轴长等于________.

答案： 6

17. 容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
　　　　　
第6组的频率是________.

答案： 0.13

18. 已知向量$\boldsymbol{a}=(-1, 2)$，$\boldsymbol{b}=(-3, 1)$，设$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta = $________.

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

19. 设数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$a_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}(n\in\mathbf{N}^{*})$，则$S_{8}= $________.

答案： $\frac{8}{9}$

20. 已知$f(x)=x^{3}-2x + m$是奇函数，则$f(2)= $________.

答案： 4

21. 如图，在直角坐标系中，已知点$A$坐标为$(0, m)(m ＞ 0)$，$B(3, 0)$，$C(3, 6)$，在第二象限内有一点$P(-m, \frac{1}{2})$.
(1)请用含$m$的式子表示四边形$ABOP$的面积；
(2)当$m$为何值时，四边形$ABOP$的面积等于$\triangle ABC$的面积?
　　　

答案： 解：
(1)$\because S_{四边形ABOP}=S_{\triangle AOP}+S_{\triangle AOB}$
$\because$点$A$坐标为$(0,m)(m\gt0)$，$B(3,0)$，点$P(-m,\frac{1}{2})$
$\therefore$在直角三角形$AOB$中，$\vert OA\vert = m$，$\vert OB\vert = 3$
$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\vert OA\vert\cdot\vert OB\vert=\frac{1}{2}m\cdot3=\frac{3}{2}m$
$S_{\triangle AOP}=\frac{1}{2}\vert OA\vert\cdot\vert x_{P}\vert=\frac{1}{2}\cdot m\cdot m=\frac{1}{2}m^{2}$
$\therefore S_{四边形ABOP}=S_{\triangle AOP}+S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}m^{2}+\frac{3}{2}m$
(2)$\triangle ABC$中，$\vert BC\vert = 6$，$BC$边上的高为3
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\vert BC\vert\cdot3=\frac{1}{2}\times6\times3 = 9$
若$S_{四边形ABOP}=S_{\triangle ABC}$，则有$\frac{1}{2}m^{2}+\frac{3}{2}m = 9$
$m^{2}+3m - 18 = 0$
$(m + 6)(m - 3)=0$，又$m\gt0$，$m = 3$
$\therefore$当$m = 3$时，$S_{四边形ABOP}=S_{\triangle ABC}$