《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

10. 对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，如图，为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20，25)上的为一等品，在区间[15，20)和区间[25，30)上的为二等品，在区间[10，15)和[30，35)上的为三等品. 用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )

A. 0.09
B. 0.20
C. 0.25
D. 0.45

答案： D

11. 函数y = (sinx + cosx)² - 1的最小正周期是( )
A. $\frac{\pi}{2}$
B. π
C. 2π
D. 4π

答案： B

12. 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a - 2b| =( )
A. $\sqrt{7}$
B. $\sqrt{10}$
C. $\sqrt{3}$
D. 3

答案： C

13. 在各项均为正数的等比数列中，若a₂a₅ = 8，则log₂a₁ + log₂a₂ + … + log₂a₆ =( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 12

答案： B

14. 双曲线：x² - y² = 100的离心率是( )
A. $\sqrt{3}$
B. $\sqrt{2}$
C. 3
D. 2

答案： B

15. 垂直于直线y = x + 1且与圆x² + y² = 1相切于第一象限的直线方程是( )
A. x + y - $\sqrt{2}$ = 0
B. x + y + 1 = 0
C. x + y - 1 = 0
D. x + y + $\sqrt{2}$ = 0

答案： A

16. 计算：log₃27 = ________.

答案： 3

17. 已知数列{aₙ}为等差数列，且a₁ = 2，a₂ + a₃ = 13，则a₄ + a₅ + a₆ = ________.

答案： 42

18. 过点(1，2)且与直线3x + 4y - 5 = 0垂直的直线方程为 ____________.

答案： $4x - 3y + 2 = 0$

19. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是________.

答案： $\frac{1}{3}$

20. 已知：A∈($\frac{\pi}{4}$，$\frac{\pi}{2}$)，sin(A + $\frac{\pi}{4}$) = $\frac{7\sqrt{2}}{10}$，则cosA = ________.

答案： $\frac{3}{5}$

21. 设数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，点(aₙ，Sₙ)在直线x + y - 2 = 0上，n∈N*.
(1)求数列{aₙ}通项公式；
(2)设f(n) = log₁/₂aₙ，记bₙ = f(n + 1)，求数列{bₙ}的前n和Tₙ.

答案： 解：
(1)$\because$点$(a_{n}, S_{n})$在直线$x + y - 2 = 0$上
$\therefore a_{n}+S_{n}-2 = 0$
$\therefore S_{n}=2 - a_{n}$
当$n = 1$时，$a_{1}=2 - a_{1}$，$\therefore a_{1}=1$
当$n\geqslant2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=a_{n - 1}-a_{n}$
$\therefore 2a_{n}=a_{n - 1}$，$\therefore\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=\frac{1}{2}$
$\therefore\{a_{n}\}$是一个首项为1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列
$\therefore a_{n}=(\frac{1}{2})^{n - 1}$
(2)$f(n + 1)=\log_{\frac{1}{2}}a_{n + 1}=\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})^{n}=n$，
$\therefore b_{n}=n$
$\therefore$数列$\{b_{n}\}$是一个首项为1，公差为1的等差数列
$\therefore T_{n}=\frac{n(b_{1}+b_{n})}{2}=\frac{n(n + 1)}{2}$