《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

22. 在△ABC中，a，b是方程x² - 2$\sqrt{3}$x + 2 = 0的两根，且2cos(A + B) = -1.
(1)求角C的度数；
(2)求c；
(3)求△ABC的面积.

答案： 解：
(1)$\because2\cos(A + B)=-1$
$\therefore\cos C=\frac{1}{2}(0^{\circ}＜C＜180^{\circ})$
$\therefore C = 60^{\circ}$
(2)因为$a,b$是方程$x^{2}-2\sqrt{3}x + 2 = 0$的两根
所以$a + b = 2\sqrt{3}$，$ab = 2$
由$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C=(a + b)^{2}-2ab(\cos C + 1)=12 - 6 = 6$
得$c=\sqrt{6}$
(3)$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times2\times\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

23. Sₙ为数列{aₙ}的前n项和. 已知aₙ ＞ 0，aₙ² + 2aₙ = 4Sₙ + 3.
(1)求证：数列{aₙ}是等差数列；
(2)设bₙ = $\frac{1}{aₙaₙ₊₁}$，求数列{bₙ}的前n项和.

答案： 解：
(1)由$a_{n}^{2}+2a_{n}=4S_{n}+3$可知$a_{n + 1}^{2}+2a_{n + 1}=4S_{n + 1}+3$
所以$a_{n + 1}^{2}-a_{n}^{2}+2(a_{n + 1}-a_{n})=4(S_{n + 1}-S_{n})=a_{n + 1}$
即$2(a_{n + 1}+a_{n})=a_{n + 1}^{2}-a_{n}^{2}=(a_{n + 1}+a_{n})(a_{n + 1}-a_{n})$
因为$a_{n}＞0$可得$a_{n + 1}-a_{n}=2$
所以数列$\{a_{n}\}$是公差为2的等差数列
(2)因为$a_{1}^{2}+2a_{1}=4a_{1}+3$，解得$a_{1}=-1$(舍去)或$a_{1}=3$
所以$a_{n}=3+(n - 1)\times2=2n + 1$
$b_{n}=\frac{1}{a_{n}a_{n + 1}}=\frac{1}{(2n + 1)(2n + 3)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n + 1}-\frac{1}{2n + 3})$
设数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$，则
$T_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}=\frac{1}{2}[(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\cdots+(\frac{1}{2n + 1}-\frac{1}{2n + 3})]=\frac{n}{3(2n + 3)}$

24. 已知椭圆C的焦点为F₁( -1, 0)，F₂(1, 0)，其长轴长是短轴长的$\sqrt{2}$倍.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若抛物线x² = 2py(p ＞ 0)与椭圆C相交于点A，B，当△OAB(O是坐标原点)的面积取得最大值时，求p的值.

答案： 解：
(1)设椭圆$C$的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
依题意得$\begin{cases}c = 1\\2a=\sqrt{2}\times2b\\a^{2}=b^{2}+c^{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\sqrt{2}\\b = 1\end{cases}$
则椭圆$C$的方程为$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$
(2)根据椭圆和抛物线的对称性，设$A(x_{0},y_{0})$，$B(-x_{0},y_{0})(x_{0},y_{0}＞0)$
则$\triangle OAB$的面积$S=\frac{1}{2}\times(2x_{0})\times y_{0}=x_{0}y_{0}$
由$A(x_{0},y_{0})$在椭圆上得$\frac{x_{0}^{2}}{2}+y_{0}^{2}=1$
所以$1=\frac{x_{0}^{2}}{2}+y_{0}^{2}\geqslant2\sqrt{\frac{x_{0}^{2}}{2}\cdot y_{0}^{2}}=\sqrt{2}x_{0}y_{0}$，等号当且仅当$\frac{x_{0}}{\sqrt{2}}=y_{0}$时成立
由$\begin{cases}\frac{x_{0}^{2}}{2}+y_{0}^{2}=1\\\frac{x_{0}}{\sqrt{2}}=y_{0}\end{cases}(x_{0},y_{0}＞0)$解得$\begin{cases}x_{0}=1\\y_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}$
$A(x_{0},y_{0})$即$A(1,\frac{\sqrt{2}}{2})$在抛物线$x^{2}=2py$上
所以$1^{2}=2p\times\frac{\sqrt{2}}{2}$
解得$p=\frac{\sqrt{2}}{2}$