《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

12. 随机调查某校50个学生每天的早餐费，结果如下表：

这50个学生每天早餐费的平均值和方差分别是( )
A. 4.2, 0.56
B. 4.2, $\sqrt{0.56}$
C. 4, 0.6
D. 4, $\sqrt{0.6}$

答案： A

13. 若函数y = 2cos²($\omega x - \frac{\pi}{2}$)($\omega$ ＞ 0)的最小正周期T = $\frac{\pi}{2}$，则$\omega$ = ( )
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. 2

答案： D

14. 若抛物线y² = 2px的焦点与椭圆$\frac{x²}{6}$ + $\frac{y²}{2}$ = 1的右焦点重合，则p的值为( )
A. -2
B. 2
C. -4
D. 4

答案： D

15. 若f(x)是奇函数，且在(0, +∞)上是增函数，且f(2) = 0，则x·f(x) ＜ 0的解是( )
A. ( -2, 0)∪(2, +∞)
B. ( -∞, -2)∪(0, 2)
C. ( -2, 0)∪(0, 2)
D. ( -∞, -2)∪(2, +∞)

答案： C

16. 已知lg2 = a，lg3 = b，则lg12 = _______(用a, b表示).

答案： $2a + b$

17. 函数f(x) = $\begin{cases}x - 2(x ＜ 2) \\ f(x - 1)(x\geq2) \end{cases}$，则f(2) = _______.

答案： $-1$

18. 已知双曲线$\frac{x²}{4}$ - $\frac{y²}{2}$ = 1上的一点P到双曲线一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为_______.

答案： 1或9

19. 若tan($\alpha + \frac{\pi}{4}$) = 3，则tanα = _______.

答案： $\frac{1}{2}$

20. 已知点A( -3, -8)，B(2, 2)，则直线AB与x轴上的交点坐标为_________.

答案： $(1,0)$

21. 已知一块边长为4的正方形木块，被截去一个角后成为五边形ABCDE(如图)，其中AF = 2，BF = 1，以AB边上的一点P作为顶点裁出一个矩形PNDM，若MP = x.
(1)试写出矩形PNDM的面积S与x的关系式；
(2)问矩形PNDM的边长为何值时其面积取得最大值.

答案： 解：
(1)若$MP = x$，设$NP = y$，则矩形$PNDM$的面积$S = xy$，$2\leqslant x\leqslant4$
依题意$CN = 4 - x$，$EM = 4 - y$，则$\frac{2}{4 - x}=\frac{1}{1-(4 - y)}$，即$y = -\frac{1}{2}x + 5$
所以$S = x\cdot(-\frac{1}{2}x + 5)=-\frac{1}{2}x^{2}+5x$，$2\leqslant x\leqslant4$
(2)$S = -\frac{1}{2}x^{2}+5x$为开口向下的抛物线，对称轴为$x = -\frac{5}{2\cdot(-\frac{1}{2})}=5$
若$2\leqslant x\leqslant4$，则当$x = 4$时$S$取得最大值，此时$y = -\frac{1}{2}\times4 + 5 = 3$
答：当矩形$PNDM$的两边长分别为4、3时其面积取得最大值