《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

24. 如图，已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$(a ＞ b ＞ 0)的一个顶点A(2, 0)，离心率为$\frac{1}{2}$，直线y = k(x - 1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为$\frac{\sqrt{10}}{3}$时，求k的值.

答案： 解：
(1)依题意得$\begin{cases}a = 2\\\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\a^{2}=b^{2}+c^{2}\end{cases}$得$b = \sqrt{2}$，因此方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$
(2)由$\begin{cases}y = k(x - 1)\\\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\end{cases}$得$(1 + 2k^{2})x^{2}-4k^{2}x+2k^{2}-4 = 0\cdots\cdots$①设$M$，$N$坐标分别为$(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$，则$y_{1}=k(x_{1}-1)$，$y_{2}=k(x_{2}-1)$$\because$由①得$x_{1}+x_{2}=\frac{4k^{2}}{1 + 2k^{2}}$，$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{2k^{2}-4}{1 + 2k^{2}}$$\therefore\vert MN\vert=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$$=\frac{2\sqrt{(1 + k^{2})(4 + 6k^{2})}}{1 + 2k^{2}}$$\because$点$A(2,0)$到$y = k(x - 1)$的距离为$d=\frac{\vert k\vert}{\sqrt{1 + k^{2}}}$又$\because S_{\triangle AMN}=\frac{1}{2}\vert MN\vert\cdot d=\frac{\vert k\vert\cdot\sqrt{4 + 6k^{2}}}{1 + 2k^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{3}$$\therefore k=\pm1$