《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

12. 已知向量a = (1, x)，b = (2, 4)，若a//b，则x = ( )
A. $\frac{1}{2}$
B. -$\frac{1}{2}$
C. -2
D. 2

答案： D

13. 若tanα = 3，则$\frac{sinα - cosα}{sinα + cosα}$ = ( )
A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{1}{2}$

答案： D

14. 扔两个质地均匀的骰子，则朝上的点数之和为5的概率是( )
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{9}$
C. $\frac{1}{12}$
D. $\frac{1}{18}$

答案： B

15. 偶函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，若f(x - 1) ＞ f(3)，则x的取值范围为 ( )
A. (-∞, $\frac{1}{2}$)∪($\frac{1}{4}$, +∞)
B. (-4, 2)
C. (-∞, $\frac{1}{4}$)∪($\frac{1}{2}$, +∞)
D. (-2, 4)

答案： D

16. 已知向量a = (1, -2)，b = (x, -4)，且a⊥b，则x = _______.

答案： -8

17. 从3本语文书、4本数学书中任意拿2本，恰好能拿到1本数学书的拿法有______种.

答案： 12

18. 已知数列{aₙ}为等差数列，且a₂ + a₈ = 1，则2ᵃ³·2ᵃ⁷ = ________.

答案： 2

19. 函数f(x) = $\sqrt{3}$sinx + cosx的最大值为________.

答案： 2

20. 直线x + y - 3 = 0被圆(x - 2)² + (y + 1)² = 4所截的弦长为 ________.

答案： $2\sqrt{2}$

21. 函数f(x) = (sinx + cosx)² - 1
(1)求函数的最小正周期；
(2)若α∈(0, $\frac{\pi}{2}$)，且f($\frac{\pi}{4}$ - α) = $\frac{1}{2}$，求cosα.

答案： 解：
(1)原式：$f(x)=\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin x\cos x - 1 = 1+\sin2x - 1=\sin2x$
$\therefore$最小正周期：$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$
(2)由
(1)得：$f(x)=\sin2x$
$\therefore f(\frac{\pi}{4}-\alpha)=\sin2(\frac{\pi}{4}-\alpha)=\frac{1}{2}$
$\therefore\sin(\frac{\pi}{2}-2\alpha)=\cos2\alpha=\frac{1}{2}$
已知$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，$\therefore2\alpha\in(0,\pi)$，
$\therefore2\alpha=\frac{\pi}{3}$，$\therefore\alpha=\frac{\pi}{6}$，$\therefore\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$