《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

12. 等比数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$. 若$S_{2} = 3$，$S_{4} = 15$，则$S_{6} = (\ \ \ \ )$
A. 63
B. 75
C. 64
D. 27

答案： A

13. 某校高中部有三个年级，其中高三有学生 800 人，现采用分层抽样法抽取一个容量为 160 的样本，已知在高一年级抽取了 65 人，高二年级抽取了 55 人，则高中部学生人数为( )
A. 2400
B. 3000
C. 3700
D. 3200

答案： D

14. 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为( )
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{4}$

答案： A

15. 已知点$A(-2, 3)$在抛物线：$y^{2} = 2px$的准线上，焦点为$F$，则直线$AF$的斜率为( )
A. $-\frac{4}{3}$
B. $-1$
C. $-\frac{3}{4}$
D. $-\frac{1}{2}$

答案： C

16. 函数$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{x}$的定义域为________.

答案： [-2,0)∪(0,+∞)

17. 不等式$|2x - 3| ＞ 1$的解集为________.

答案： {x|x＜1或x＞2}

18. 已知向量$\boldsymbol{a} = (1, -\cos\theta)$，$\boldsymbol{b} = (1, 2\cos\theta)$且$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，则$\cos2\theta$等于________.

答案： 0

19. 直线$(1 + a)x + y + 1 = 0$与圆$x^{2} + y^{2} - 2x = 0$相切，则$a = $________.

答案： -1

20. 已知总体标准差由$S = \sqrt{\frac{1}{8}[(x_{1} - 5)^{2} + (x_{2} - 5)^{2} + \cdots + (x_{8} - 5)^{2}]}$求得，则$x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{8} = $________.

答案： 40

21. 现需从一块直角三角形的木板(尺寸如图所示)中截出一块矩形小板，其中矩形的边$AB$与$AD$分别在两直角边上，若$AB = x$米，矩形的面积记为$y$平方米，求：
(1)写出$y$与$x$的关系式；
(2)求矩形面积的最大值和取得最大时的$x$值.

答案：
(1)$\because AD// BC$，$\therefore\frac{BC}{10}=\frac{4 - x}{4}$即$BC=\frac{(4 - x)\cdot5}{2}$，则$y = x\cdot\frac{(4 - x)\cdot5}{2}=-\frac{5}{2}x^{2}+10x(0＜x＜4)$
(2)当$x=-\frac{10}{2\cdot(-\frac{5}{2})}=2$米时，矩形的面积最大，最大面积为$y=-\frac{5}{2}\times2^{2}+10\times2 = 10$平方米