《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

22. 已知函数f(x) = Asin(ωx + φ)(A ＞ 0，ω ＞ 0，0 ＜ φ ＜ $\frac{\pi}{2}$)在同一周期内有最大值3，最小正周期为π，且函数y = f(x)的图象过点($\frac{\pi}{6}$，3)，求此函数的解析式f(x).

答案： 解：依题意知$A = 3$，$\frac{2\pi}{\omega}=\pi\Rightarrow\omega = 2$，故$f(x)=3\sin(2x+\varphi)$
代入点$(\frac{\pi}{6},3)$得$f(\frac{\pi}{6})=3\sin(2\times\frac{\pi}{6}+\varphi)=3$，即$\sin(\frac{\pi}{3}+\varphi)=1$，且$0＜\varphi＜\frac{\pi}{2}$，$\therefore\varphi=\frac{\pi}{6}$，故$f(x)=3\sin(2x+\frac{\pi}{6})$

23. 已知数列{aₙ}的前n项和Sₙ = n² + 2n.
(1)求{aₙ}的通项公式aₙ；
(2)令bₙ = $\frac{1}{a_{n}a_{n + 1}}$，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ.

答案： 解：
(1)当$n = 1$时，$a_{1}=s_{1}=3$，当$n\geqslant2$时，$a_{n}=s_{n}-s_{n - 1}=2n + 1$，且$a_{1}=2\times1 + 1=3$，故$a_{n}=2n + 1$
(2)因为$b_{n}=\frac{1}{a_{n}a_{n + 1}}=\frac{1}{(2n + 1)(2n + 3)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n + 1}-\frac{1}{2n + 3})$
所以$T_{n}=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2n + 1}-\frac{1}{2n + 3})=\frac{n}{3(2n + 3)}$

24. 已知椭圆E：$\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ = 1(a ＞ b ＞ 0)的离心率为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，短轴一个端点到右焦点的距离为$\sqrt{5}$.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l：y = x + 1与椭圆E交于A，B两点，且P为椭圆E上任一点，求△PAB的最大面积.

答案： 解：
(1)$\because a=\sqrt{5}$，$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\Rightarrow c = 2$，$\therefore b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=1$，$\therefore$椭圆方程为$\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$
(2)联立方程组$\begin{cases}\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1\\y = x + 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_{1}=0\\y_{1}=1\end{cases}$或$\begin{cases}x_{2}=-\frac{5}{3}\\y_{2}=-\frac{2}{3}\end{cases}$
故$|AB|=\sqrt{(-\frac{5}{3}-0)^{2}+(-\frac{2}{3}-1)^{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{3}$
设与直线$l:y = x + 1$平行，且与椭圆$E$相切的直线方程为$y = x + b$
联立方程组$\begin{cases}\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1\\y = x + b\end{cases}$，消去$y$得$6x^{2}+10bx + 5b^{2}-5 = 0$
由$\triangle=(10b)^{2}-4\times6(5b^{2}-5)=0$，解得$b=\pm\sqrt{6}$
当$b = -\sqrt{6}$时，两平行线的距离$d=\frac{1+\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$为点$P$到直线$l$距离的最大值
此时$\triangle PAB$的面积$S=\frac{1}{2}|AB|\cdot d=\frac{1}{2}\times\frac{5\sqrt{2}}{3}\times\frac{1+\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\frac{5 + 5\sqrt{6}}{6}$为最大值