《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

22. 已知函数f(x)=asin(x + π/3)的图象经过点(π/2，1/2).
(1)求a的值；
(2)若sinθ = 1/3，0 ＜ θ ＜ π/2，求f(θ).

答案： 解：
(1)由题知 $f(\frac{\pi}{2})=a\sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$，$\therefore a\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$$\therefore a = 1$
(2)$\because\sin\theta=\frac{1}{3}$，$0＜\theta＜\frac{\pi}{2}$$\therefore\cos\theta=\sqrt{1 - \sin^{2}\theta}=\sqrt{1 - (\frac{1}{3})^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\therefore f(\theta)=\sin(\theta+\frac{\pi}{3})=\sin\theta\cos\frac{\pi}{3}+\cos\theta\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1 + 2\sqrt{6}}{6}$

23. 已知数列{1/aₙ}是等差数列，且a₃ = 1/5，a₂ = 3a₅.
(1)求{aₙ}的通项公式；
(2)若bₙ = aₙaₙ₊₁(n∈N*)，求数列{bₙ}的前n项和Sₙ.

答案： 解
(1)因为数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 是等差数列，所以可令 $\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{a_{1}}+(n - 1)d$故 $\frac{1}{a_{3}}=\frac{1}{a_{1}}+2d = 5$，$\frac{1}{a_{1}}+d=\frac{1}{3}(\frac{1}{a_{1}}+4d)$，联立解得 $a_{1}=1$，$d = 2$$\therefore\frac{1}{a_{n}}=1+(n - 1)\cdot2 = 2n - 1$，$\therefore a_{n}=\frac{1}{2n - 1}$
(2)$\because b_{n}=a_{n}a_{n + 1}=\frac{1}{2n - 1}\cdot\frac{1}{2n + 1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})$$\therefore S_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots + b_{n}=\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\cdots+(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})]=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n + 1})=\frac{n}{2n + 1}$

24. 已知中心在坐标原点，两个焦点F₁，F₂在x轴上的椭圆E的长轴为10，抛物线y² = 16x的焦点与F₂重合.
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线y = k(x + 4)(k≠0)交椭圆E于C，D两点，试判断以坐标原点为圆心、周长等于△CF₂D周长的圆O与椭圆E是否有交点？请说明理由.

答案： 解：
(1)由题知 $2a = 10$$\therefore a = 5$，又抛物线 $y^{2}=16x$ 的焦点为 $(4,0)$，即 $c = 4$$\therefore b^{2}=a^{2}-c^{2}=9$，故椭圆的方程 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$，离心率 $e$ 为 $\frac{4}{5}$
(2)因为直线 $y = k(x + 4)(k\neq0)$ 过焦点 $F_{1}$，所以 $\triangle CF_{2}D$ 的周长为 $4a = 20$，周长为20的圆的半径 $R=\frac{20}{2\pi}=\frac{10}{\pi}＞3 = b$同时，$R=\frac{20}{2\pi}=\frac{10}{\pi}＜5 = a$$\therefore b＜R＜a$，与椭圆有交点