《2024年高职高考全真模拟试卷辽海出版社高中数学全一册人教版》

22. 在锐角$\triangle ABC$中，边$a$，$b$是方程$x^{2}-2\sqrt{3}x + 2 = 0$的两根，$A$，$B$满足$2\sin(A + B)-\sqrt{3}=0$，解答下列问题：
(1)$\angle C$的度数；
(2)边$c$的长度；
(3)$\triangle ABC$的面积.

答案： 解：
(1)
∵由2sin(A + B)-\sqrt{3}=0得sin(A + B)=\frac{\sqrt{3}}{2}，A + B=\frac{π}{3}或\frac{2π}{3}
∴ C=\frac{2π}{3}或\frac{π}{3}
又
∵△ABC为锐角三角形
∴ C=\frac{2π}{3}(舍去)，C=\frac{π}{3}
(2)
∵方程x² - 2\sqrt{3}x + 2 = 0得根为x=\sqrt{3}±1，由余弦定理得：
c² = a² + b² - 2abcosC = (\sqrt{3} + 1)² + (\sqrt{3} - 1)² - 2(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)cos\frac{π}{3}=6
∴ c=\sqrt{6}
(3)S_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)sin\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}

23. 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$na_{n + 1}=2(n + 1)a_{n}$，设$b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$，
(1)求$b_{1}$，$b_{2}$，$b_{3}$；
(2)判断数列$\{b_{n}\}$是否为等比数列，并说明理由；
(3)求$\{a_{n}\}$的通项公式.

答案： 解：
(1)
∵ na_{n + 1}=2(n + 1)a_{n}
∴ a₂ = 4a₁ = 4，a₃ = 3a₂ = 3×4 = 12
∴ b₁=\frac{a₁}{1}=1，b₂=\frac{a₂}{2}=\frac{4}{2}=2，b₃=\frac{a₃}{3}=\frac{12}{3}=4
(2)
∵ na_{n + 1}=2(n + 1)a_{n}
∴ a_{n + 1}=\frac{2(n + 1)}{n}a_{n}
∴对n∈N⁺，\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}=\frac{a_{n + 1}}{n + 1}·\frac{n}{a_{n}}=\frac{2(n + 1)a_{n}}{n(n + 1)}·\frac{n}{a_{n}}=2(常数)
∴ {b_{n}}是等比数列.
(3)
∵ {b_{n}}是等比数列，首项为b₁ = 1，q = 2
∴ b_{n}=b₁q^{n - 1}=1·2^{n - 1}
又
∵ b_{n}=\frac{a_{n}}{n}
∴ a_{n}=nb_{n}=n·2^{n - 1}

24. 已知$F_{1}$，$F_{2}$分别是椭圆$c$：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点，$A$是椭圆$c$的上顶点坐标为$(0,\sqrt{3})$，$B$是直线$AF_{2}$与椭圆$c$的另一个交点，已知$\angle F_{1}AF_{2}=60^{\circ}$.
(1)求椭圆的方程：
(2)求$\triangle AF_{1}B$面积。

答案： 解：
(1)
∵∠F₁AF₂ = 60°，b=\sqrt{3}
∴ a = 2，c = 1
∴椭圆方程为：\frac{x²}{4}+\frac{y²}{3}=1
(2)
∵ c = 1，
∴焦点为F₁( - 1，0)、F₂(1，0)
又
∵直线AB的倾斜角为120°
∴ k_{AB}=tan120°= - \sqrt{3}
又
∵直线AB过点F₂(1，0)
∴由点斜式得：y - 0 = - \sqrt{3}(x - 1)
即y = - \sqrt{3}(x - 1)
由于点AB满足\begin{cases}y = - \sqrt{3}(x - 1) \\ \frac{x²}{4}+\frac{y²}{3}=1\end{cases}
整理得：5x² - 8x = 0
解得：x₁=\frac{8}{5}，x₂ = 0
∴|AB|=\sqrt{1 + k²}|x₁ - x₂|=2×\frac{8}{5}=\frac{16}{5}
又
∵点F₁( - 1，0)到直线\sqrt{3}x + y - \sqrt{3}=0的距离为：d=\frac{|\sqrt{3}×( - 1)+0 - \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})² + 1²}}=\sqrt{3}
∴ S_{△AF₁B}=\frac{1}{2}×|AB|×d=\frac{1}{2}×\frac{16}{5}×\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}}{5}