《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

12. 记$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和. 已知$\frac{2S_{n}}{n}+n = 2a_{n}+1$，求证：$\{ a_{n}\}$是等差数列.

答案： 证明:$\because\frac{2S_{n}}{n}+n = 2a_{n}+1$,
即$2S_{n}+n^{2}=2na_{n}+n$,①
当$n\geqslant2$时,$2S_{n - 1}+(n - 1)^{2}=2(n - 1)a_{n - 1}+(n - 1)$,②
① - ②,得$2S_{n}+n^{2}-2S_{n - 1}-(n - 1)^{2}=2na_{n}+n-2(n - 1)a_{n - 1}-(n - 1)$,
即$2a_{n}+2n - 1=2na_{n}-2(n - 1)a_{n - 1}+1$,
即$2(n - 1)a_{n}-2(n - 1)a_{n - 1}=2(n - 1)$,
$\therefore a_{n}-a_{n - 1}=1,n\geqslant2$且$n\in N^{*}$,
$\therefore\{a_{n}\}$是以 1 为公差的等差数列.

1. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=2$，$a_{n + 1}=\begin{cases}a_{n}+2,n为奇数,\\a_{n}+3,n为偶数,\end{cases}$记$b_{n}=a_{2n - 1}$，则( )．
（A）$b_{1}=3$ （B）$b_{2}=6$ （C）$b_{n + 1}-b_{n}=5$ （D）$b_{n}=6n - 4$

答案： C [提示]$\because a_{1}=2,a_{n + 1}=\begin{cases}a_{n}+2,n为奇数\\a_{n}+3,n为偶数\end{cases}$,且$b_{n}=a_{2n - 1}$,$\therefore a_{2}=a_{1}+2 = 4,a_{3}=a_{2}+3 = 7$,$\therefore b_{1}=a_{1}=2,b_{2}=a_{3}=7$,故 A 错误,故 B 错误;又$a_{2k}=a_{2k - 1}+2,a_{2k + 1}=a_{2k}+3(k\in N^{*})$,$\therefore a_{2k + 1}=a_{2k - 1}+5$,即$b_{n + 1}-b_{n}=5$,$\therefore\{b_{n}\}$为首项为 2,公差为 5 的等差数列,故$b_{n}=2+(n - 1)\times5=5n - 3$,$\therefore$C 正确,D 错误.

2. 已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{3}=2$，$a_{7}=1$. 若$\{\frac{1}{a_{n}}\}$为等差数列，则$a_{5}=$___________．

答案： $\frac{4}{3}$

3. 若$\{ a_{n}\}$为递增的等差数列，前3项的和为12，前3项的积为48，则$a_{1}=$__________．

答案： 2 [提示]设$\{a_{n}\}$的公差为$d$,由已知可得$a_{2}=4$,$a_{1}=4 - d,a_{3}=4 + d$,(4 - d)(4 + d)=12,解得$d = 2$或$d=-2$(舍去),$\therefore a_{1}=a_{2}-d=4 - 2 = 2$.

4. 已知在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=2$，$a_{2}$和$a_{3}$是两个连续正整数的平方，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案： 解:设$a_{2}=m^{2},a_{3}=(m + 1)^{2}$,由已知得$2m^{2}=2+(m + 1)^{2}$,解得$m = 3$或$m=-1$(舍去),$\therefore a_{2}=9$,$d=a_{2}-a_{1}=9 - 2 = 7,a_{n}=2+7(n - 1)=7n - 5$.