《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

5. 记$S_{n}$为正项数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，已知$a_{2}=3a_{1}$，且数列$\{\sqrt{S_{n}}\}$是等差数列，求证：$\{ a_{n}\}$是等差数列．

答案： 证明:
∵数列$\{\sqrt{S_{n}}\}$是等差数列，设公差为$d=\sqrt{S_{2}}-\sqrt{S_{1}}=\sqrt{a_{1}+a_{2}}-\sqrt{a_{1}}=\sqrt{a_{1}}$，
∴$\sqrt{S_{n}}=\sqrt{a_{1}}+(n - 1)\sqrt{a_{1}}=n\sqrt{a_{1}}(n\in\mathbf{N}^{*})$，即$S_{n}=a_{1}n^{2}(n\in\mathbf{N}^{*})$．
当$n\geq2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=a_{1}n^{2}-a_{1}(n - 1)^{2}=2a_{1}n - a_{1}$；
当$n = 1$时，$2a_{1}\times1 - a_{1}=a_{1}$，满足$a_{n}=2a_{1}n - a_{1}$．
∴$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=2a_{1}n - a_{1}(n\in\mathbf{N}^{*})$，
∴$a_{n}-a_{n - 1}=(2a_{1}n - a_{1})-[2a_{1}(n - 1)-a_{1}]=2a_{1}$，
∴数列$\{ a_{n}\}$是等差数列．

6. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=0$，$a_{2}=2$，$a_{2n + 2}-a_{2n}=2$，$a_{2n + 1}-a_{2n - 1}=1(n\in\mathbf{N}^{*})$，求$\{ a_{n}\}$的通项公式．

答案： 解:当$n$为奇数时，设$n = 2m - 1$，则$a_{n}=a_{2m - 1}=0+(m - 1)\times1=m - 1=\frac{n - 1}{2}$；
当$n$为偶数时，设$n = 2m$，则$a_{n}=a_{2m}=2+(m - 1)\times2=2m=n$．
∴$a_{n}=\begin{cases}\frac{n - 1}{2},n为奇数\\n,n为偶数\end{cases}$