《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

3. 设等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₉ ＜ S₆ ＜ S₁₀，则当Sₙ取得最小值时，n的值为( ).
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10

答案： B

12. 已知数列{aₙ}的通项公式为$a_{n}=\begin{cases}3n,n为奇数,\\2n - 1,n为偶数,\end{cases}$求数列{aₙ}的前2n项和S₂ₙ.

答案： 解：$S_{2n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}\times6+na_{2}+\frac{n(n - 1)}{2}\times4 = 5n^{2}+n$。

1. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( ).
(A)3 699块 (B)3 474块 (C)3 402块 (D)3 339块

答案： C 【提示】设第$n$环扇面形石板块数为$a_{n}$，上层共有$n$环，则$a_{n}=9+(n - 1)\times9 = 9n$。
设$S_{n}$为$\{a_{n}\}$的前$n$项和，则上层、中层、下层的块数分别为$S_{n}$，$S_{2n}-S_{n}$，$S_{3n}-S_{2n}$。$\because$下层比中层多$729$块，$\therefore S_{3n}-S_{2n}=S_{2n}-S_{n}+729$，
即$\frac{3n(9 + 27n)}{2}-\frac{2n(9 + 18n)}{2}=\frac{2n(9 + 18n)}{2}-\frac{n(9 + 9n)}{2}+729$，即$9n^{2}=729$，解得$n = 9$，
$\therefore S_{3n}=S_{27}=\frac{27\times(9 + 9\times27)}{2}=3402$。

2. 已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃ = -3，S₆ = 9，则S₉ = ______，Sₙ的最小值为______.

答案： $36$；$-\frac{11}{3}$

3. 设等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₁ ＞ 0，S₄ = S₈，则当Sₙ取得最大值时，n的值为______.

答案： 6

4. 已知数列{aₙ}的前n项和Sₙ = 12n - n²，求数列{|aₙ|}的前n项和Tₙ.

答案： 解：由已知得$a_{1}=S_{1}=11$，当$n\geqslant2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=12n - n^{2}-[12(n - 1)-(n - 1)^{2}]=13 - 2n$，$a_{1}$适合此式，$\therefore a_{n}=13 - 2n$。
当$n\leqslant6$时，$a_{n}＞0$，$\vert a_{n}\vert=a_{n}$，$\therefore T_{n}=S_{n}=12n - n^{2}$；
当$n\geqslant7$时，$a_{n}＜0$，此时$\vert a_{n}\vert=-a_{n}$，
$\therefore T_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{6}-a_{7}-a_{8}-\cdots-a_{n}$
$=-(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})+2S_{6}$
$=-S_{n}+2S_{6}$
$=-(12n - n^{2})+2\times36$
$=n^{2}-12n + 72$。