《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

1. 设函数$f(x)$在$x = x_0$处可导，且有$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=a\Delta x + b(\Delta x)^2$（$a,b$为常数），则( ).
(A)$f'(x_0)=a$ (B)$f'(x_0)=b$ (C)$f'(x)=a$ (D)$f'(x)=b$

答案： A

2. 曲线$y = \frac{1}{3}x^3 - 2$在点$(1,-\frac{5}{3})$处切线的斜率为( ).
(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2

答案： A

3. 抛物线$y = x^2 - 2x$在点$(1,-1)$处的切线( ).
(A)是$y$轴 (B)是$x$轴 (C)平行于$y$轴 (D)平行于$x$轴

答案： D

4. 曲线$y = f(x)$在$x = 1$处的切线如图所示，则$f'(1)=$( ).
(A)1 (B)$-\frac{1}{2}$
(C)$\frac{1}{2}$ (D)-1

答案： C

5. 下列说法正确的是( ).
(A)若$f'(x_0)$不存在，则曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处没有切线
(B)若曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处有切线，则$f'(x_0)$必存在
(C)若$f'(x_0)$不存在，则曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线斜率不存在
(D)若曲线$y = f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处没有切线，则$f'(x_0)$有可能存在

答案： C

6. 已知函数$f(x)$在$x = x_0$处的导数为$f'(x_0)=1$，则曲线$f(x)$在$x = x_0$处切线的倾斜角为_______.

答案： $\frac{\pi}{4}$

7. 如图，点$A(x_1,f(x_1)),B(x_2,f(x_2))$在函数$y = f(x)$的图象上，且$x_2\lt x_1$，$f'(x)$为$f(x)$的导函数，则$f'(x_1)$与$f'(x_2)$的大小关系是_______.

答案： $f^{\prime}(x_{1})＞f^{\prime}(x_{2})$ [提示]由导数的几何意义，可得$f^{\prime}(x_{1})$为点A处切线的斜率，$f^{\prime}(x_{2})$为点B处切线的斜率，根据图象可以判断$f^{\prime}(x_{1})＞f^{\prime}(x_{2})$。

8. 已知曲线$f(x)=ax^2 + bx(a\neq0)$在点$(1,f(1))$处切线的斜率为$a$，则$f(1)$的值为_______.

答案： 0 [提示]曲线$f(x)$在点$(1,f(1))$处切线的斜率为$f^{\prime}(1)$，$f^{\prime}(1)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1 + \Delta x)-f(1)}{\Delta x}=2a + b$。由已知，得$2a + b = a$，即$a + b = 0$，$\therefore f^{\prime}(1)=a + b = 0$。

9. 直线$l:y = x + a(a\neq0)$和曲线$C:y = -x^2 + 1$相切，则$a$的值为_______.

答案： $\frac{5}{4}$

10. 下列关于曲线的切线的说法：
①曲线的切线和此曲线不一定只有一个公共点；
②和曲线只有一个交点的直线一定是曲线的切线；
③割线与曲线的两个交点沿曲线无限趋近于一个点时，割线趋近于过此点的曲线的切线；
④曲线$y = f(x)$在某点处切线的斜率就是函数$f(x)$在该点处的瞬时变化率.
其中正确的序号有___________.

答案： ①③④