《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

5. 已知数列{aₙ}满足a₁ = 1，$a_{n + 1}=\begin{cases}a_{n}+1,n为奇数,\\a_{n}+2,n为偶数.\end{cases}$
(1)记bₙ = a₂ₙ，写出b₁，b₂，并求数列{bₙ}的通项公式；
(2)求{aₙ}的前20项和.

答案： 解：
(1)由题设可得$b_{1}=a_{2}=a_{1}+1 = 2$，$b_{2}=a_{4}=a_{3}+1=a_{2}+2 + 1 = 5$。
$\because a_{2k + 2}=a_{2k+1}+1$，$a_{2k + 1}=a_{2k}+2(k\in\mathbf{N}^{*})$，
$\therefore a_{2k + 2}=a_{2k}+3$，$\therefore b_{n + 1}=b_{n}+3$，即$b_{n + 1}-b_{n}=3$，
$\therefore\{b_{n}\}$为等差数列，$\therefore b_{n}=2+(n - 1)\times3=3n - 1$。
(2)设$\{a_{n}\}$的前$20$项和为$S_{20}$，则$S_{20}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{20}$。
$\because a_{1}=a_{2}-1$，$a_{3}=a_{4}-1$，$\cdots$，$a_{19}=a_{20}-1$，
$\therefore S_{20}=2(a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{18}+a_{20})-10$
$=2(b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{9}+b_{10})-10$
$=2\times(10\times2+\frac{10\times9}{2}\times3)-10 = 300$。

6. 设等差数列{aₙ}的公差为d，且d ＞ 1. 令$b_{n}=\frac{n^{2}+n}{a_{n}}$，记Sₙ，Tₙ分别为数列{aₙ}，{bₙ}的前n项和.
(1)若3a₂ = 3a₁ + a₃，S₃ + T₃ = 21，求{aₙ}的通项公式；
(2)若{bₙ}为等差数列，且S₉₉ - T₉₉ = 99，求d.

答案： 解：
(1)$\because 3a_{2}=3a_{1}+a_{3}$，$\therefore 3d=a_{1}+2d$，解得$a_{1}=d$，$\therefore S_{3}=3a_{2}=3(a_{1}+d)=6d$。
又$T_{3}=b_{1}+b_{2}+b_{3}=\frac{2}{d}+\frac{6}{2d}+\frac{12}{3d}=\frac{9}{d}$，$\therefore S_{3}+T_{3}=6d+\frac{9}{d}=21$，即$2d^{2}-7d + 3 = 0$，解得$d = 3$或$d=\frac{1}{2}$（舍去），$\therefore a_{n}=a_{1}+(n - 1)\cdot d=3n$。
(2)$\because\{b_{n}\}$为等差数列，$\therefore 2b_{2}=b_{1}+b_{3}$，即$\frac{12}{a_{2}}=\frac{2}{a_{1}}+\frac{12}{a_{3}}$，
$\therefore 6(\frac{1}{a_{2}}-\frac{1}{a_{3}})=\frac{6d}{a_{2}a_{3}}=\frac{1}{a_{1}}$，即$a_{1}^{2}-3a_{1}d + 2d^{2}=0$，
解得$a_{1}=d$或$a_{1}=2d$。
$\because d＞1$，$\therefore a_{n}＞0$。
$\because S_{99}-T_{99}=99$，由等差数列的性质知，$99a_{50}-99b_{50}=99$，即$a_{50}-b_{50}=1$，
$\therefore a_{50}-\frac{2550}{a_{50}}=1$，即$a_{50}^{2}-a_{50}-2550 = 0$，解得$a_{50}=51$或$a_{50}=-50$（舍去）。
当$a_{1}=2d$时，$a_{50}=a_{1}+49d=51d=51$，解得$d = 1$，与$d＞1$矛盾，舍去；
当$a_{1}=d$时，$a_{50}=a_{1}+49d=50d=51$，解得$d=\frac{51}{50}$，符合题意。
综上，$d=\frac{51}{50}$