《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

4. 已知各项都是正数的数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，前$n$项和$S_{n}$满足$4S_{n}=(a_{n - 1}+3)^{2}(n\geqslant2,n\in\mathbf{N})$，写出数列的前$4$项，猜想数列$\{a_{n}\}$的通项公式$a_{n}$，并用数学归纳法加以证明.

答案： 解:当$n = 1$时，$a_1 = 1$;当$n = 2$时，$4S_2=(a_1 + 3)^2 = 16$，
∴$S_2 = 4$，$a_2 = 3$;当$n = 3$时，$4S_3=(a_2 + 3)^2 = 36$，
∴$S_3 = 9$，$a_3 = 5$;当$n = 4$时，$4S_4=(a_3 + 3)^2 = 64$，
∴$S_4 = 16$，$a_4 = 7$.猜想$a_n = 2n - 1$.下面用数学归纳法证明.
(1)当$n = 1$时，$a_1 = 1$，满足$a_1 = 2\times1 - 1 = 1$，结论成立.
(2)假设当$n = k(k\geqslant1,k\in\mathbf{N}^*)$时，结论成立，即$a_k = 2k - 1$，此时$S_k = k^2$，当$n = k + 1$时，$4S_{k + 1}=(a_k + 3)^2=(2k + 2)^2 = 4(k + 1)^2$，
∴$S_{k + 1}=(k + 1)^2$，$a_{k + 1}=S_{k + 1}-S_k=(k + 1)^2 - k^2 = 2k + 1 = 2(k + 1)-1$，满足上式.由
(1)
(2)可知，对于任何$n\in\mathbf{N}^*$结论成立，即$a_n = 2n - 1$.

5. 用数学归纳法证明：当$n\in\mathbf{N}$时，$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{5n - 1}$是$31$的倍数.

答案： 证明:
(1)当$n = 1$时，$1 + 2+\cdots+2^4 = 31$，命题成立.
(2)假设当$n = k$时，$1 + 2+\cdots+2^{5k - 1}(k\in\mathbf{N}^*)$是31的倍数，当$n = k + 1$时，$1 + 2+\cdots+2^{5k - 1}+2^{5k}+2^{5k + 1}+\cdots+2^{5(k + 1)-1}=(1 + 2+\cdots+2^{5k - 1})+2^{5k}(1 + 2+\cdots+2^4)$.
∵$1 + 2+\cdots+2^{5k - 1}(k\in\mathbf{N}^*)$是31的倍数，且$1 + 2+\cdots+2^4 = 31$，即$2^{5k}(1 + 2+\cdots+2^4)$是31的倍数，
∴当$n = k + 1$时，$1 + 2+\cdots+2^{5k - 1}+2^{5k}+2^{5k + 1}+\cdots+2^{5(k + 1)-1}$是31的倍数.由
(1)
(2)可知，当$n\in\mathbf{N}^*$时，$1 + 2+2^2+2^3+\cdots+2^{5n - 1}$是31的倍数.

6. 用数学归纳法证明：$1\times n+2\times(n - 1)+3\times(n - 2)+\cdots + n\times1=\frac{1}{6}n(n + 1)(n + 2)(n$为正整数).

答案： 证明:设$f(n)=1\times n+2\times(n - 1)+3\times(n - 2)+\cdots+(n - 1)\times2+n\times1$，
(1)当$n = 1$时，左边$ = 1$，右边$=\frac{1}{6}\times1\times(1 + 1)\times(1 + 2)=1$，等式成立.
(2)假设当$n = k$时等式成立，即$f(k)=1\times k+2\times(k - 1)+3\times(k - 2)+\cdots+(k - 1)\times2+k\times1=\frac{1}{6}k(k + 1)(k + 2)$，则当$n = k + 1$时，$f(k + 1)=1\times(k + 1)+2[(k + 1)-1]+3[(k + 1)-2]+\cdots+[(k + 1)-2]\times3+[(k + 1)-1]\times2+(k + 1)\times1$ $=f(k)+1 + 2+3+\cdots+k+(k + 1)$ $=\frac{1}{6}k(k + 1)(k + 2)+\frac{1}{2}(k + 1)(k + 1 + 1)$ $=\frac{1}{6}(k + 1)(k + 2)(k + 3)$
∴由
(1)
(2)可知当$n\in\mathbf{N}^*$时等式都成立.