《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

5. 对于不等式$\sqrt{n^{2}+n}\lt n + 1(n\in\mathbf{N}^*)$，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
(1)当$n = 1$时，$\sqrt{1^{2}+1}\lt1 + 1$，不等式成立.
(2)假设当$n = k(k\in\mathbf{N}^*)$时，不等式成立，即$\sqrt{k^{2}+k}\lt k + 1$，
当$n = k + 1$时，
$\sqrt{(k + 1)^{2}+k + 1}=\sqrt{k^{2}+3k + 2}\lt\sqrt{(k^{2}+3k + 2)+(k + 2)}=\sqrt{(k + 2)^{2}}=(k + 1)+1$，
$\therefore$当$n = k + 1$时，不等式成立. 上述证法( )
(A)过程全部正确
(B)$n = 1$验证不正确
(C)归纳假设不正确
(D)从$n = k$到$n = k + 1$的推理不正确

答案： D

6.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半. 1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只. 以此类推，假设$n$个月后共有老鼠$a_{n}$只，则$a_{n}=$__________.

答案： $2\times7^{n}$

7. 用数学归纳法证明“$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}\lt n(n\in\mathbf{N}^*,n\gt1)$”，第一步应验证不等式______________.

答案： $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}＜2$

8. 已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=\frac{1}{2},a_{n + 1}=\frac{1}{2 - a_{n}}(n\in\mathbf{N}^*)$，则$a_{1}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\frac{a_{3}}{3^{2}}+\cdots+\frac{a_{2022}}{2022^{2}}=$________.

答案： $\frac{2022}{2023}$

9. 用数学归纳法证明$\frac{2^{n}-1}{2^{n}+1}\gt\frac{n}{n + 1}$对任意$n\geqslant k(n,k\in\mathbf{N}^*)$都成立，则$k$的最小值为________.

答案： 3

10. 用数学归纳法证明$1 + 2 + 2^{2}+\cdots+2^{n - 1}=2^{n}-1(n\in\mathbf{N}^*)$的过程如下：
(1)当$n = 1$时，左边$ = 1$，右边$ = 2^{1}-1 = 1$，等式成立；
(2)假设当$n = k(k\in\mathbf{N}^*)$时等式成立，即$1 + 2 + 2^{2}+\cdots+2^{k - 1}=2^{k}-1$，则当$n = k + 1$时，
$1 + 2 + 2^{2}+\cdots+2^{k - 1}+2^{k}=\frac{1 - 2^{k + 1}}{1 - 2}=2^{k + 1}-1$，所以当$n = k + 1$时等式也成立. 由此可知对于任何$n\in\mathbf{N}^*$，等式都成立. 上述证明的错误是____________.

答案： 未用归纳假设

11. 用数学归纳法证明：$\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n + 2}+\frac{1}{n + 3}+\cdots+\frac{1}{2n}\gt\frac{13}{24}(n\geqslant2,n\in\mathbf{N}^*)$.

答案： 证明：
(1)当$n = 2$时，$\frac{1}{2 + 1}+\frac{1}{2 + 2}=\frac{14}{24}＞\frac{13}{24}$，命题成立。
(2)假设当$n = k(k\geqslant2)$时，$\frac{1}{k + 1}+\frac{1}{k + 2}+\frac{1}{k + 3}+\cdots+\frac{1}{2k}＞\frac{13}{24}$成立，
当$n = k + 1$时，$\frac{1}{k + 2}+\frac{1}{k + 3}+\frac{1}{k + 4}+\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k + 1}+\frac{1}{2k + 2}$
$=\frac{1}{k + 1}+\frac{1}{k + 2}+\frac{1}{k + 3}+\frac{1}{k + 4}+\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k + 1}+\frac{1}{2k + 2}-\frac{1}{k + 1}＞\frac{13}{24}+\frac{1}{2k + 1}+\frac{1}{2k + 2}-\frac{1}{k + 1}$。
$\because\frac{1}{2k + 1}+\frac{1}{2k + 2}-\frac{1}{k + 1}=\frac{1}{2(2k + 1)(k + 1)}＞0$，
$\therefore\frac{1}{(k + 1)+1}+\frac{1}{(k + 1)+2}+\frac{1}{(k + 1)+3}+\cdots+\frac{1}{2(k + 1)}＞\frac{13}{24}$，
当$n = k + 1$时命题成立。
所以对于任意$n\geqslant2$，$n\in\mathbf{N}^{*}$都成立。

12. 证明：当$n\in\mathbf{N}^*$时，$f(n)=3^{2n + 2}-8n - 9$能被64整除.

答案： 证明：
(1)当$n = 1$时，$f(1)=3^{4}-8 - 9=64$能被64整除。
(2)假设当$n = k(k\geqslant1,k\in\mathbf{N}^{*})$时，$f(k)=3^{2k + 2}-8k - 9$能被64整除，
则当$n = k + 1$时，$f(k + 1)=3^{2(k + 1)+2}-8(k + 1)-9=9\times3^{2k + 2}-8k - 17=9\times(3^{2k + 2}-8k - 9)+64k + 64$。故$f(k + 1)$也能被64整除。
综合
(1)
(2)可知当$n\in\mathbf{N}^{*}$时，$f(n)=3^{2n + 2}-8n - 9$能被64整除。