《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

1. 物体自由落体运动方程为s(t)=$\frac{1}{2}$gt²，若$\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{s(1 + \Delta t)-s(1)}{\Delta t}=g = 9.8$ m/s，则以下说法正确的是( )．
(A)9.8 m/s是该物体在1～1 + $\Delta t$秒这段时间内的平均速度
(B)9.8 m/s是该物体在0～$\Delta t$秒这段时间内的速度
(C)9.8 m/s是该物体在t = 1秒时的平均速度
(D)9.8 m/s是该物体在t = 1秒时的瞬时速度

答案： D

2. 如果函数y = f(x)的瞬时变化率为0，那么下列函数可以满足本条件的是( )．
(A)y = 2x + 3 (B)y = 3x
(C)y = 1 (D)y = x² + 5x

答案： C

3. 若函数f(x)=x²由x = 1至x = 1 + $\Delta x$的平均变化率的取值范围是(2,2.025)，则$\Delta x$的取值范围为_______．

答案： $(0,0.025)$ 【提示】$\because x$由$x = 1$至$x = 1+\Delta x$时，$\Delta y=f(1+\Delta x)-f(1)=(\Delta x + 1)^2-1^2=(\Delta x)^2+2\Delta x$，$\therefore$函数$f(x)=x^2$由$x = 1$至$x = 1+\Delta x$的平均变化率为$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\Delta x + 2$. $\because\frac{\Delta y}{\Delta x}=\Delta x + 2\in(2,2.025)$，$\therefore\Delta x\in(0,0.025)$.

4. 已知一物体的运动方程为s(t)=t² + 2t + 3，求该物体在t = 1到t = 1 + $\Delta t$这段时间内的平均速度.

答案： 解：依题意，物体在$t = 1$到$t = 1+\Delta t$这段时间内的位移增量为$\Delta s=s(1+\Delta t)-s(1)=[(1+\Delta t)^2+2(1+\Delta t)+3]-6=(\Delta t)^2+4\Delta t$.
于是得$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{(\Delta t)^2+4\Delta t}{\Delta t}=\Delta t + 4$，
$\therefore$物体在$t = 1$到$t = 1+\Delta t$这段时间内的平均速度为$\Delta t + 4$.

5. 一个模拟实验中物体的运动规律是s(t)= - 2t² + 10，请写出其在t = 2时的瞬时速度.

答案： 解：$s(2)=2$，$s(2+\Delta t)=-2(2+\Delta t)^2+10=-2(\Delta t)^2-8\Delta t + 2$，$\overline{v}=\frac{s(2+\Delta t)-s(2)}{\Delta t}=-2\Delta t - 8$.
当$\Delta t\rightarrow0$时，该物体在$t = 2$时的瞬时速度是$-8$.

6. 某质点沿直线运动，运动规律是s = 5t² + 6，求其在[2,3]这段时间内质点的平均速度.

答案： 解：$\Delta s=5(2+\Delta t)^2+6-(5\times2^2 + 6)=20\Delta t+5(\Delta t)^2$，$\therefore$质点的平均速度为$\frac{\Delta s}{\Delta t}=20 + 5\Delta t$，当$\Delta t = 1$时，$\frac{\Delta s}{\Delta t}=25$.