《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

4. 已知函数$f(x)=a\ln x - ax - 3(a\in\mathbf{R})$，讨论函数$f(x)$的单调性.

答案： 解：$f^{\prime}(x)=\frac{a}{x}-a=\frac{a(1 - x)}{x}(x＞0)$。当$a＜0$时，$f(x)$的单调递增区间为$(1,+\infty)$，单调递减区间为$(0,1)$；当$a = 0$时，$f(x)$不是单调函数；当$a＞0$时，$f(x)$的单调递增区间为$(0,1)$，单调递减区间为$(1,+\infty)$。

5. 已知函数$f(x)=\frac{x}{4}+\frac{a}{x}-\ln x-\frac{3}{2}(a\in\mathbf{R})$，且曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线垂直于直线$y=\frac{1}{2}x$. 求：
(1)$a$的值；
(2)函数$f(x)$的单调区间.

答案： 解：
(1)$f^{\prime}(x)=\frac{1}{4}-\frac{a}{x^{2}}-\frac{1}{x}(x＞0)$。$\because$曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线垂直于直线$y=\frac{1}{2}x$，$\therefore f^{\prime}(1)=\frac{1}{4}-a - 1=-2$，解得$a=\frac{5}{4}$。
(2)由
(1)得$f(x)=\frac{x}{4}+\frac{5}{4x}-\ln x-\frac{3}{2}$，$f^{\prime}(x)=\frac{1}{4}-\frac{5}{4x^{2}}-\frac{1}{x}=\frac{x^{2}-4x - 5}{4x^{2}}(x＞0)$。令$f^{\prime}(x)＞0$，得$x＞5$；令$f^{\prime}(x)＜0$，得$0＜x＜5$。因此函数$f(x)$的单调递增区间为$(5,+\infty)$，单调递减区间为$(0,5)$。

6. 已知函数$f(x)=ae^{2x}+be^{-2x}+cx^{2}(a,b,c\in\mathbf{R})$的导函数$f'(x)$为奇函数，曲线$y = f(x)$在点$(0,f(0))$处切线的斜率为$4 - c$，且$f(0)=2$.
(1)求函数$f(x)$的解析式；
(2)判断$f(x)$的单调性.

答案： 解：
(1)$f^{\prime}(x)=2ae^{2x}-2be^{-2x}+2cx$。$\because f^{\prime}(x)$为奇函数，导函数$f^{\prime}(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$\therefore f^{\prime}(0)=0$，$\therefore a - b=0$，即$a = b$。又$f(0)=2$，$\therefore a + b=2$，则$a = 1$，$b = 1$。$\because$曲线$y = f(x)$在点$(0,f(0))$处切线的斜率为$4 - c$，$\therefore f^{\prime}(0)=4 - c=0$，则$c = 4$，$\therefore$函数$f(x)$的解析式为$f(x)=e^{2x}+e^{-2x}+4x^{2}$。
(2)由
(1)得$f^{\prime}(x)=2e^{2x}-2e^{-2x}+8x$。令$g(x)=2e^{2x}-2e^{-2x}+8x$，$\therefore g^{\prime}(x)=4e^{2x}+4e^{-2x}+8＞0$，$\therefore$函数$g(x)$单调递增。$\because g(0)=2e^{0}-2e^{0}+0=0$，$\therefore$当$x＜0$时，$g(x)＜0$，$f^{\prime}(x)＜0$，$f(x)$单调递减；当$x＞0$时，$g(x)＞0$，$f^{\prime}(x)＞0$，$f(x)$单调递增。$\therefore f(x)$在区间$(-\infty,0)$上单调递减，在区间$(0,+\infty)$上单调递增。