《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

8. 用数学归纳法证明“$\frac{1^{2}}{1\times3}+\frac{2^{2}}{3\times5}+\cdots+\frac{n^{2}}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{n(n + 1)}{2(2n + 1)}(n\in\mathbf{N})$”，推证当$n = k + 1$时等式也成立，只需证明等式____________________成立即可.

答案： $\frac{k(k + 1)}{2(2k + 1)}+\frac{(k + 1)^2}{(2k + 1)(2k + 3)}=\frac{(k + 1)(k + 2)}{2(2k + 3)}$

9. 记$f(n)=1 + 2 + 3+\cdots+(3n - 1)+3n$，在用数学归纳法证明对于任意正整数$n$，$f(n)＞4n^{2}$的过程中，从$n = k$到$n = k + 1$时，不等式左边的$f(k + 1)$比$f(k)$增加了_______项.

答案： 3

10. 已知各项都为正数的数列$\{a_{n}\}$，其前$n$项和为$S_{n}$，对任何$n\in\mathbf{N}$，都有$a_{n}$与$2$的等差中项等于$S_{n}$与$2$的等比中项，则$a_{1}=$________，$a_{2}=$________，$a_{3}=$________，由此可以猜测$a_{n}=$________.

答案： $2$; $6$; $10$; $4n - 2$

11. 用数学归纳法证明：$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots + n^{3}=\frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4}=(1 + 2 + 3+\cdots + n)^{2}(n\in\mathbf{N})$.

答案： 证明:
(1)当$n = 1$时，等式左边$=1^3 = 1$，等式中间$=\frac{1^2\times(1 + 1)^2}{4}=1$，等式右边$=1^2 = 1$，即等式左边$=$等式中间$=$等式右边，等式成立.
(2)假设$n = k$，$k\geqslant1$，$k\in\mathbf{N}^*$时等式成立，即有$1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=\frac{k^2(k + 1)^2}{4}=(1 + 2+3+\cdots+k)^2$成立，当$n = k + 1$时，有$[(1 + 2+3+\cdots+k)+(k + 1)]^2=(1 + 2+3+\cdots+k)^2+2(1 + 2+3+\cdots+k)(k + 1)+(k + 1)^2$ $=\frac{k^2(k + 1)^2}{4}+2\times\frac{k(k + 1)}{2}\times(k + 1)+(k + 1)^2$ $=\frac{(k + 1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4}$ $=\frac{(k + 1)^2[(k + 1)+1]^2}{4}$成立，$1^3+2^3+\cdots+k^3+(k + 1)^3=\frac{k^2(k + 1)^2}{4}+(k + 1)^3=\frac{(k + 1)^2[(k + 1)+1]^2}{4}$，即当$n = k + 1$时，等式成立.由
(1)
(2)可得当$n = k$，$k\geqslant1$，$k\in\mathbf{N}^*$时等式成立，即$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n + 1)^2}{4}=(1 + 2+3+\cdots+n)^2(n\in\mathbf{N}^*)$.

12. 用数学归纳法证明：$2^{n + 1}\geqslant n^{2}+n + 2(n\in\mathbf{N})$.

答案： 证明:
(1)当$n = 1$时，$2^2\geqslant4$成立.
(2)假设当$n = k$时不等式成立，即$2^{k + 1}\geqslant k^2+k + 2(k\in\mathbf{N}^*)$，当$n = k + 1$时，$2^{k + 1+1}=2\times2^{k + 1}\geqslant2\times(k^2 + k + 2)\geqslant k^2+2k + 1+k + 3=(k + 1)^2+(k + 1)+2$，即$2^{k + 1+1}\geqslant(k + 1)^2+(k + 1)+2$成立.由
(1)
(2)可知对任何$n\in\mathbf{N}^*$，$2^{n + 1}\geqslant n^2+n + 2$都成立.

1. 在用数学归纳法求证：$(n + 1)(n + 2)\times\cdots\times(n + n)=2^{n}\times1\times3\times\cdots\times(2n - 1)(n$为正整数)的过程中，从“$k$到$k + 1$”左边需增乘的代数式为( ).
(A)$2k + 2$ (B)$(2k + 1)(2k + 2)$
(C)$\frac{2k + 2}{2k + 1}$ (D)$2(2k + 1)$

答案： D

2. 设$f(n)=(1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n + 1})\times\cdots\times(1+\frac{1}{n + n})$，用数学归纳法证明$f(n)\geqslant3$. 在“假设当$n = k$时成立”后，$f(k + 1)$与$f(k)$的关系是$f(k + 1)=f(k)\cdot$________________.

答案： $(1+\frac{1}{2k + 1})(1+\frac{1}{2k + 2})\cdot\frac{k}{k + 1}$

3. 已知函数$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$，若$f_{1}(x)=f(x)$，$f_{2}(x)=f(f_{1}(x))$，$\cdots$，$f_{n}(x)=f(f_{n - 1}(x))$，猜想$f_{n}(x)$的函数表达式为_______.

答案： $f_n(x)=\frac{x}{\sqrt{1 - nx^2}}(n\in\mathbf{N}^*)$