《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

1. 用数学归纳法证明“$2^{n}＞n^{2}+1$对于$n\geqslant n_{0}$的正整数$n$都成立”时，在第一步证明中的起始值$n_{0}$应取( ).
(A)2 (B)3 (C)5 (D)6

答案： C

2. 用数学归纳法证明“$1 + a + a^{2}+\cdots + a^{n + 1}=\frac{1 - a^{n + 2}}{1 - a}(n\in\mathbf{N},a\neq1)$”，在验证$n = 1$成立时，左边所得的项为( ).
(A)1 (B)$1 + a$
(C)$1 + a + a^{2}$ (D)$1 + a + a^{2}+a^{3}$

答案： C

3. 已知$n$为正偶数，用数学归纳法证明$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n - 1}＞2(\frac{1}{n + 2}+\frac{1}{n + 4}+\cdots+\frac{1}{2n})$时，若已假设$n = k(k\geqslant2$，且$k$为偶数)时等式成立，则还需利用假设再证( ).
(A)$n = k + 1$时不等式成立
(B)$n = k + 2$时不等式成立
(C)$n = 2k + 2$时不等式成立
(D)$n = 2(k + 2)$时不等式成立

答案： B

4. 用数学归纳法证明“当$n$为正奇数时，$x^{n}+y^{n}$能被$x + y$整除”，在第二步时正确的证法是( ).
(A)假设$n = 2k + 1(k\in\mathbf{N})$时命题成立，证明$n = 2k + 3$时命题也成立
(B)假设$n = 2k - 1(k\in\mathbf{N})$时命题成立，证明$n = 2k + 1$时命题也成立
(C)假设$n = k(k\in\mathbf{N})$时命题成立，证明$n = k + 1$时命题也成立
(D)假设$n = k(k\geqslant1,k\in\mathbf{N})$时命题成立，证明$n = k + 2$时命题也成立

答案： B

5. 用数学归纳法证明“$\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n + 2}+\frac{1}{n + 3}+\cdots+\frac{1}{3n + 1}＞1$”时，假设$n = k$时命题成立，则当$n = k + 1$时，左端增加的项为( ).
(A)$\frac{1}{3k + 1}$ (B)$\frac{1}{3k + 1}-\frac{1}{k + 1}$
(C)$\frac{1}{3k + 2}+\frac{1}{3k + 3}+\frac{1}{3k + 4}$ (D)$\frac{1}{3k + 2}+\frac{1}{3k + 4}-\frac{2}{3(k + 1)}$

答案： D

6. 用数学归纳法证明“$3^{n}\geqslant n^{3}(n\geqslant3,n\in\mathbf{N})$”时，第一步应验证$n =$_______时不等式成立.

答案： 3

7. 用数学归纳法证明命题“$1\times4 + 2\times7 + 3\times10+\cdots + n(3n + 1)=n(n + 1)^{2}$”，当$n = k$时，等式左边共有________项，第$(k - 1)$项是________________.

答案： $k$; $(k - 1)[3(k - 1)+1]$