《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

1. 用数学归纳法证明“对任意的$n\in\mathbf{N}^*$，$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+(2n)^{2}=\frac{n(2n + 1)(4n + 1)}{3}$”，第一步应该验证的等式是( )
(A)$1^{2}=\frac{1\times1\times3}{3}$
(B)$1^{2}+2^{2}=\frac{1\times3\times5}{3}$
(C)$1^{2}+2^{2}+3^{2}=\frac{2\times3\times7}{3}$
(D)$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=\frac{2\times5\times9}{3}$

答案： B

2. 记凸$k$边形的内角和为$f(k)$，则凸$(k + 1)$边形的内角和$f(k + 1)=f(k)+(\ )$
(A)$\frac{π}{2}$       (B)π   (C)$\frac{3π}{2}$ (D)2π

答案： B

3. 用数学归纳法证明“$5^{n}-2^{n}$能被3整除”的第二步中，$n = k + 1$时，为了使用假设，应将$5^{k + 1}-2^{k + 1}$变形为( )
(A)$5(5^{k}-2^{k})+3\times2^{k}$
(B)$(5^{k}-2^{k})+4\times5^{k}-2^{k}$
(C)$(5 - 2)(5^{k}-2^{k})$
(D)$2(5^{k}-2^{k})-3\times5^{k}$

答案： A

4. 在用数学归纳法证明等式$1 + 2 + 3+\cdots+2n - 1=2n^{2}-n(n\in\mathbf{N}^*)$的第2步中，假设当$n = k(k\geqslant1,k\in\mathbf{N}^*)$时原等式成立，则当$n = k + 1$时需要证明的等式为( )
(A)$1 + 2 + 3+\cdots+(2k - 1)+[2(k + 1)-1]=2k^{2}-k+2(k + 1)^{2}-(k + 1)$
(B)$1 + 2 + 3+\cdots+(2k - 1)+[2(k + 1)-1]=2(k + 1)^{2}-(k + 1)$
(C)$1 + 2 + 3+\cdots+(2k - 1)+2k+[2(k + 1)-1]=2k^{2}-k+2(k + 1)^{2}-(k + 1)$
(D)$1 + 2 + 3+\cdots+(2k - 1)+2k+[2(k + 1)-1]=2(k + 1)^{2}-(k + 1)$

答案： D【提示】用数学归纳法证明等式$1 + 2+3+\cdots+2n - 1=2n^{2}-n$时，
假设当$n = k$时，等式成立，即$1 + 2+3+\cdots+2k - 1=2k^{2}-k$，
则当$n = k + 1$时，左边为$1 + 2+3+\cdots+2k - 1+2k+2(k + 1)-1$，
$\therefore$从“$k\rightarrow k + 1$”需增添的项是$2k+2k + 1$，
$\therefore1 + 2+3+\cdots+(2k - 1)+2k+[2(k + 1)-1]=2(k + 1)^{2}-(k + 1)$。