《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

11. 已知函数$f(x)=x\ln x + 2$.
(1)求曲线在点$(1,f(1))$处的切线方程；
(2)判断$f(x)$的单调性.

答案： 解：
(1)$f^{\prime}(x)=\ln x + 1$，$f^{\prime}(1)=1$，$f(1)=2$，$\therefore$曲线在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y - 2=x - 1$，即$x - y+1=0$。
(2)函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，令$f^{\prime}(x)=\ln x + 1＞0$，得$x＞\frac{1}{e}$；令$f^{\prime}(x)=\ln x + 1＜0$，得$0＜x＜\frac{1}{e}$，$\therefore f(x)$的单调递减区间为$(0,\frac{1}{e})$，单调递增区间为$(\frac{1}{e},+\infty)$。

12. 已知函数$f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx + d$的图象过点$P(0,2)$，且在点$M(-1,f(-1))$处的切线方程为$6x - y + 7 = 0$. 求：
(1)函数$f(x)$的解析式；
(2)函数$f(x)$的单调区间.

答案： 解：
(1)由函数$f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx + d$的图象过点$P(0,2)$，得$d = 2$，$\therefore f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx + 2$，$\therefore f^{\prime}(x)=3x^{2}+2bx + c$。由$f(x)$在点$M(-1,f(-1))$处的切线方程为$6x - y+7=0$，得$f^{\prime}(-1)=6$。又$f(-1)=1$，$\therefore\begin{cases}3 - 2b + c=6\\-1 + b - c+2=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}b=-3\\c=-3\end{cases}$，$\therefore$函数$f(x)$的解析式为$f(x)=x^{3}-3x^{2}-3x + 2$。
(2)令$f^{\prime}(x)=3x^{2}-6x - 3＞0$，得$x＜1-\sqrt{2}$或$x＞1+\sqrt{2}$，令$f^{\prime}(x)=3x^{2}-6x - 3＜0$，得$1-\sqrt{2}＜x＜1+\sqrt{2}$，$\therefore$函数$f(x)$的单调递增区间是$(-\infty,1-\sqrt{2})$和$(1+\sqrt{2},+\infty)$，单调递减区间是$(1-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$。

1. 对于函数$f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx - 1$，“$c\geqslant0$”是“$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增”的( ).
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

答案： B【提示】$f^{\prime}(x)=3x^{2}+2bx + c$，$\Delta = 4b^{2}-12c=4(b^{2}-3c)$。当$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增时，$\Delta\leqslant0$，$\therefore b^{2}-3c\leqslant0$，$\therefore c\geqslant\frac{b^{2}}{3}\geqslant0$，即必要性成立；当$c\geqslant0$时，$\Delta\leqslant0$不一定成立，即$f^{\prime}(x)\geqslant0$不一定成立，即充分性不成立，$\therefore$“$c\geqslant0$”是“$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增”的必要不充分条件。

2. 函数$f(x)=(x^{2}+x + 1)e^{x}(x\in\mathbf{R})$的单调递增区间是____________________.

答案： $(-\infty,-2)$和$(-1,+\infty)$【提示】$f^{\prime}(x)=(x^{2}+3x + 2)e^{x}$。令$f^{\prime}(x)＞0$，可得$x＜-2$或$x＞-1$。

3. 设$f'(x)$是奇函数$f(x)(x\in\mathbf{R})$的导函数，$f(-1)=0$，当$x\gt0$时，$xf'(x)-f(x)\lt0$，则使得$f(x)\gt0$成立的$x$的取值范围是__________.

答案： $(-\infty,-1)\cup(0,1)$【提示】$\because f(x)(x\in\mathbf{R})$为奇函数且$f(-1)=0$，$\therefore f(1)=-f(-1)=0$。当$x = 0$时，$f(x)=0$；当$x\neq0$时，令$g(x)=\frac{f(x)}{x}$，则$g(x)$为偶函数，$g(1)=g(-1)=0$；当$x＞0$时，$g^{\prime}(x)=\frac{xf^{\prime}(x)-f(x)}{x^{2}}＜0$，故$g(x)$在区间$(0,+\infty)$上单调递减，在区间$(-\infty,0)$上单调递增。$\therefore$在区间$(0,+\infty)$上，当$0＜x＜1$时，由$g(x)＞g(1)=0$，$\therefore\frac{f(x)}{x}＞0$，得到$f(x)＞0$。同理在区间$(-\infty,0)$上，当$x＜-1$时，由$g(x)＜g(-1)=0$，$\therefore\frac{f(x)}{x}＜0$，得到$f(x)＞0$，$\therefore$使得$f(x)＞0$成立的$x$的取值范围是$(-\infty,-1)\cup(0,1)$。