《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

4. 用导数的定义求函数$y = x^2-\frac{1}{x}$的导函数$y'$，若曲线$y = x^2-\frac{1}{x}$上的点$(x_0,y_0)(x_0\gt0)$满足$y+xy' = 3$，求该曲线在点$(x_0,y_0)$处切线的斜率.

答案： 解：$y^{\prime}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^{2}-\frac{1}{x+\Delta x}-x^{2}+\frac{1}{x}}{\Delta x}$
$=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2x\cdot(\Delta x)+(\Delta x)^{2}+\frac{\Delta x}{x(x+\Delta x)}}{\Delta x}$
$=\lim\limits_{\Delta x \to 0}[2x+\Delta x+\frac{1}{x(x+\Delta x)}]=2x+\frac{1}{x^{2}}$。
由$y_{0}+x_{0}y^{\prime}=3$，且$x_{0}＞0$，可得$x_{0}=1$，$y_{0}=0$，
$\therefore$该曲线在点$(1,0)$处切线的斜率为$3$。

5. 已知抛物线$f(x)=x^2 - 2x + 5$上的两点$A(1,f(1)),B(3,f(3))$，求平行于直线$AB$的抛物线的切线方程.

答案： 解：$\because f(1)=4$，$f(3)=8$，
$\therefore$直线$AB$的斜率$k=\frac{8 - 4}{3 - 1}=2$。
设切点的坐标为$(x_{0},f(x_{0}))$，则
$f^{\prime}(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}=2x_{0}-2=2$，
解得$x_{0}=2$，$\therefore f(x_{0})=5$，
$\therefore$所求抛物线的切线方程为$y - 5 = 2(x - 2)$，即$2x - y + 1 = 0$。

6. 若函数$f(x)=-x^2 + x$在区间$[2,2+\Delta x](\Delta x\gt0)$上的平均变化率不大于-1，求$\Delta x$的取值范围.

答案： 解：$\because$函数$f(x)$在区间$[2,2+\Delta x](\Delta x＞0)$上的平均变化率为$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}$
$=\frac{-(2+\Delta x)^{2}+(2+\Delta x)-(-4 + 2)}{\Delta x}$
$=\frac{-4\Delta x+\Delta x-(\Delta x)^{2}}{\Delta x}=-3-\Delta x$，
$\therefore$由$-3-\Delta x\leqslant - 1$，得$\Delta x\geqslant - 2$。
又$\because\Delta x＞0$，$\therefore\Delta x$的取值范围是$(0,+\infty)$。