《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

1. 下列有关数列的说法正确的是( )．
①数列－1，2，3与数列3，2，－1是同一个数列；
②数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=n(n + 1)$，则120是该数列的第11项；
③在数列$1,\sqrt{2},\sqrt{3},2,\sqrt{5},\cdots$中，第8个数是$2\sqrt{2}$；
④数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为$a_{n}=2^{n}+1$．
(A)①② (B)②④ (C)③④ (D)①③

答案： C

2. 已知数列$\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{5}}{4},\frac{\sqrt{7}}{6},\frac{\sqrt{9}}{m - n},\frac{\sqrt{m + n}}{10},\cdots$，根据前3项给出的规律，实数对$(m,n)$为_______．

答案： $(\frac{19}{2},\frac{3}{2})$ 【提示】由数列的前3项的规律可知$\begin{cases}m - n = 8\\m + n = 11\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\frac{19}{2}\\n=\frac{3}{2}\end{cases}$ .

3. 我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：
①所有的奇数项满足$a_{2n - 1}＜a_{2n + 1}$，所有的偶数项满足$a_{2n}＜a_{2n + 2}$；
②任意相邻的两项$a_{2n - 1},a_{2n}$满足$a_{2n - 1}＜a_{2n}$．
根据上面的信息回答下面的问题：
(1)数列1，2，3，4，5，6 _______“有趣数列”(填“是”或者“不是”)；
(2)若$a_{n}=n + (-1)^{n}\frac{2}{n}$，则数列$\{a_{n}\}$_______“有趣数列”(填“是”或者“不是”)．

答案：
(1)是
(2)是 【提示】
(1)数列$1,2,3,4,5,6$为递增数列，满足“有趣数列”的定义.
(2)由已知$a_{n}=n+(-1)^{n}\frac{2}{n}$，得$a_{2n - 1}=2n - 1-\frac{2}{2n - 1},a_{2n + 1}=2n+1-\frac{2}{2n + 1},a_{2n}=2n+\frac{2}{2n},a_{2n + 2}=2n + 2+\frac{2}{2n + 2}$ . $a_{2n - 1}-a_{2n + 1}=-2-\frac{2}{2n - 1}+\frac{2}{2n + 1}=-2-\frac{4}{4n^{2}-1}＜0$，故$a_{2n - 1}＜a_{2n + 1}$ . $a_{2n}-a_{2n + 2}=-2+\frac{4}{2n(2n + 2)}=-2+\frac{1}{n(n + 1)}\leq-2+\frac{1}{2}＜0$，故$a_{2n}＜a_{2n + 2}$ . $a_{2n - 1}-a_{2n}=2n - 1-\frac{2}{2n - 1}-2n-\frac{2}{2n}=-1-\frac{2}{2n - 1}-\frac{2}{2n}＜0$，故$a_{2n - 1}＜a_{2n}$ . 综上，$\{a_{n}\}$是“有趣数列”.

4. 已知数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=\frac{kn}{2n + 3}(k\in R)$．
(1)当$k = 1$时，判断数列$\{a_{n}\}$的单调性；
(2)若数列$\{a_{n}\}$是递减数列，求实数$k$的取值范围．

答案： 解：
(1)当$k = 1$时，$a_{n}=\frac{n}{2n + 3},a_{n + 1}=\frac{n + 1}{2n + 5}$，$\therefore a_{n + 1}-a_{n}=\frac{3}{(2n + 5)(2n + 3)}＞0$，$\therefore$数列$\{a_{n}\}$是递增数列.
(2)$\because$数列$\{a_{n}\}$是递减数列，$\therefore a_{n + 1}-a_{n}=\frac{3k}{(2n + 5)(2n + 3)}＜0$恒成立，$\therefore k＜0$，$\therefore k$的取值范围是$(-\infty,0)$ .

5. 已知数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=\begin{cases}\frac{1}{n + 1},n为奇数\\2^{n},n为偶数\end{cases}$．
(1)若数列$\{b_{n}\}$满足$b_{n}=a_{2n - 1}(n\in N^{*})$，写出数列$\{b_{n}\}$的前5项；
(2)若数列$\{c_{n}\}$满足$c_{n}=\log_{2}a_{2n}(n\in N^{*})$，写出数列$\{c_{n}\}$的通项公式．

答案： 解：
(1)$b_{1}=a_{1}=\frac{1}{2},b_{2}=a_{3}=\frac{1}{4},b_{3}=a_{5}=\frac{1}{6},b_{4}=a_{7}=\frac{1}{8},b_{5}=a_{9}=\frac{1}{10}$ .
(2)$c_{n}=\log_{2}a_{2n}=\log_{2}2^{2n}=2n$ .

6. 已知数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=1 - (-\frac{1}{2})^{n}(n\in N^{*})$，求数列$\{a_{n}\}$的最大项和最小项．

答案： 解：当$n$为奇数时，$a_{n}=1+(\frac{1}{2})^{n}$，此时$a_{n}＞1$，其中$a_{1}$最大，$a_{1}=\frac{3}{2}$；当$n$为偶数时，$a_{n}=1-(\frac{1}{2})^{n}$，此时$a_{n}＜1$，其中$a_{2}$最小，$a_{2}=\frac{3}{4}$ . $\therefore$数列$\{a_{n}\}$的最大项为$a_{1}=\frac{3}{2}$，最小项为$a_{2}=\frac{3}{4}$ .