《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

10. 某银行的活期存款利率为0.35％，某人存入a万元，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存，若不考虑利率的变化，用$a_{n}$表示第n年到期时的存款余额，则$a_{3}=$________，数列$\{ a_{n}\}$的递推公式为________________________．

答案： $a\times(1 + 0.35\%)^{3}$；$a_{n}=a_{n - 1}\cdot(1 + 0.35\%)(n\geq2)$

11. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前n项和$S_{n}=2n^{2}$，求该数列的通项公式．

答案： 解：当$n = 1$时，$a_{1}=S_{1}=2$；
当$n\geq2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=2n^{2}-2(n - 1)^{2}=4n - 2$。$n = 1$符合此式，$\therefore a_{n}=4n - 2$。

12. 设数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=3$，$a_{n + 1}=2a_{n}+1(n\in\mathbf{N}^{*})$，写出这个数列的前5项，并归纳出通项公式．

答案： 解：$a_{1}=3$，$a_{2}=7$，$a_{3}=15$，$a_{4}=31$，$a_{5}=63$。通项公式为$a_{n}=2^{n + 1}-1$。

1. 若数列$\{ a_{n}\}$的前n项和$S_{n}=2n^{2}+n + 1$，则下列结论正确的是( )．
（A）$a_{n}=4n - 1$ （B）$a_{n}=3n + 1$
（C）$a_{n}=7n - 3$ （D）$a_{n}=\begin{cases}4,n = 1,\\4n - 1,n\geqslant2\end{cases}$

答案： D 【提示】当$n\geq2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=2n^{2}+n + 1-2(n - 1)^{2}-(n - 1)-1=4n - 1$，而$a_{1}=S_{1}=2\times1^{2}+1 + 1 = 4$，显然不满足上式，$\therefore a_{n}=\begin{cases}4,n = 1,\\4n - 1,n\geq2.\end{cases}$

2. 在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}=\frac{a_{1}(3^{n}-1)}{2}(n\in\mathbf{N}^{*})$，且$a_{4}=54$，则$a_{1}=$__________．

答案： 2 【提示】由已知得$S_{4}=\frac{a_{1}(3^{4}-1)}{2}$，$S_{3}=\frac{a_{1}(3^{3}-1)}{2}$，$\therefore a_{4}=S_{4}-S_{3}=27a_{1}$。由$a_{4}=54$，可得$a_{1}=2$。

3. 已知数列$\{ F_{n}\}$：$F_{1}=F_{2}=1$，$F_{n}=F_{n - 1}+F_{n - 2}(n\geqslant3)$．若将数列$\{ F_{n}\}$的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列$\{ a_{n}\}$，则$a_{100}=$________．

答案： 1 【提示】由已知，得$F_{1}=F_{2}=1$，$F_{3}=2$，$F_{4}=3$，$F_{5}=5,\cdots$。若将数列$\{F_{n}\}$的每一项除以 2 所得的余数按原来项的顺序构成新的数列$\{a_{n}\}$，则数列$\{a_{n}\}$的各项依次为 1，1，0，1，1，0，1，1，0，$\cdots$，$\therefore a_{100}=1$。

4. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”．在某种玩法中，用$a_{n}$表示解下$n(n\leqslant9,n\in\mathbf{N}^{*})$个圆环所需的最少移动次数．若$a_{1}=1$，且$a_{n}=\begin{cases}2a_{n - 1}-1,n为偶数,\\2a_{n - 1}+2,n为奇数,\end{cases}$则解下5个圆环所需的最少移动次数为__________．

答案： 16