《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

11. 已知数列{aₙ}是等差数列，a₃ + a₈ = 37，a₇ = 23.
(1)求数列{aₙ}的通项公式；
(2)设bₙ = aₙ + 2ⁿ，求数列{bₙ}的前n项和Sₙ．

答案： 解:
(1)设等差数列$\{a_{n}\}$的首项为$a_{1}$,公差为$d$.
由$a_{3}+a_{8}=37$,$a_{7}=23$,得$\begin{cases}2a_{1}+9d=37\\a_{1}+6d=23\end{cases}$,
解得$\begin{cases}a_{1}=5\\d=3\end{cases}$,$\therefore a_{n}=3n + 2$.
(2)由
(1),知$b_{n}=a_{n}+2^{n}=3n + 2+2^{n}$,
则$S_{n}=[5 + 8+\cdots+(3n + 2)]+(2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{n})=\frac{n(5 + 3n + 2)}{2}+\frac{2(1 - 2^{n})}{1 - 2}=\frac{n(7 + 3n)}{2}+2^{n + 1}-2$.

12. 在等比数列{aₙ}中，a₁ = 1，a₅ = 4a₃．
(1)求{aₙ}的通项公式；
(2)记Sₙ为{aₙ}的前n项和，若Sₘ = 63，求m的值．

答案： 解:
(1)设$\{a_{n}\}$的公比为$q$,由题设得$a_{n}=q^{n - 1}$.
由已知得$q^{4}=4q^{2}$,解得$q = 0$(舍去),$q=-2$或$q = 2$.故$a_{n}=(-2)^{n - 1}$或$a_{n}=2^{n - 1}$.
(2)若$a_{n}=(-2)^{n - 1}$,则$S_{n}=\frac{1-(-2)^{n}}{3}$.由$S_{m}=63$,得$(-2)^{m}=-188$,此方程没有正整数解.
若$a_{n}=2^{n - 1}$,则$S_{n}=2^{n}-1$.由$S_{m}=63$,得$2^{m}=64$,解得$m = 6$.综上,$m$的值为$6$.

1. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”. 已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{aₙ}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a₁ = 1，a₅ = 12，a₉ = 192，则数列{aₙ}的所有项的和为( )．
(A)384 (B)378 (C)372 (D)244

答案： A

2. 数列1，(1 + 2)，(1 + 2 + 2²)，…，(1 + 2 + 2² + … + 2ⁿ⁻¹)，…的前n项和为__________．

答案： $2^{n + 1}-n - 2$

3. 已知数列{bₙ}为等比数列，且公比q＞0，b₁ + b₂ = 6b₃，数列{aₙ}，{cₙ}满足a₁ = b₁ = c₁ = 1，cₙ = aₙ₊₁ - aₙ，cₙ₊₁ = bₙ/bₙ₊₂·cₙ(n∈N*)，则q =________，数列{aₙ}的通项公式为______________．

答案： $\frac{1}{2}$;$a_{n}=\frac{4^{n - 1}+2}{3}$【提示】依题意得$b_{1}=1$,$b_{2}=q$,$b_{3}=q^{2}$,而$b_{1}+b_{2}=6b_{3}$,$\therefore1 + q = 6q^{2}$.$\because q＞0$,$\therefore q=\frac{1}{2}$,$\therefore b_{n}=\frac{1}{2^{n - 1}}$,$\therefore b_{n + 2}=\frac{1}{2^{n + 1}}$,$\therefore c_{n + 1}=\frac{\frac{1}{2^{n - 1}}}{\frac{1}{2^{n + 1}}}\cdot c_{n}=4c_{n}$,$\therefore$数列$\{c_{n}\}$是首项为$1$,公比为$4$的等比数列,$\therefore c_{n}=4^{n - 1}$,$\therefore a_{n + 1}-a_{n}=c_{n}=4^{n - 1}(n\geqslant2,n\in\mathbf{N}^{*})$,$\therefore a_{n}=a_{1}+1 + 4+\cdots+4^{n - 2}=\frac{4^{n - 1}+2}{3}$.

4. 已知数列{aₙ}满足2a₁ + 2²a₂ + 2³a₃ + … + 2ⁿaₙ = n(n∈N*)．
(1)求数列{aₙ}的通项公式及其前n项和Sₙ；
(2) 若$b_{n}=\frac{1}{\log_{2}a_{n}\cdot\log_{2}a_{n + 1}}$，求数列{bₙ}的前2 023项和T₂₀₂₃．

答案： 解:
(1)当$n = 1$时,$2a_{1}=1$,解得$a_{1}=\frac{1}{2}$.
当$n\geqslant2$时,$2a_{1}+2^{2}a_{2}+2^{3}a_{3}+\cdots+2^{n}a_{n}=n$①,
$2a_{1}+2^{2}a_{2}+2^{3}a_{3}+\cdots+2^{n - 1}a_{n - 1}=n - 1$②,
由① - ②,得$2^{n}a_{n}=n-(n - 1)$,即$a_{n}=\frac{1}{2^{n}}$.
令$n = 1$,则$a_{1}=\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}$,此式也满足$a_{1}$,
$\therefore$数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=\frac{1}{2^{n}}$,
其前$n$项和$S_{n}=1-\frac{1}{2^{n}}$.
(2)$b_{n}=\frac{1}{\log_{2}a_{n}\cdot\log_{2}a_{n + 1}}=\frac{1}{\log_{2}\frac{1}{2^{n}}\cdot\log_{2}\frac{1}{2^{n + 1}}}=\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$,
$\therefore T_{2023}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024}=1-\frac{1}{2024}=\frac{2023}{2024}$.