《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

1. 一物体的运动满足曲线方程$s(t)=4t^{2}+2t - 3$，且$s'(5)=42\ m/s$，其实际意义是( )．
（A）物体5 s内共走过42 m
（B）物体每5 s运动42 m
（C）物体从开始运动到第5 s运动的平均速度是42 m/s
（D）物体以$t = 5\ s$时的瞬时速度运动的话，每经过1 s，物体运动的路程为42 m

答案： D

2. 函数$y = f(t)$，当自变量由$t$改变到$t+\Delta t$时，$y$的变化为( )．
（A）$f(t+\Delta t)$ （B）$f(t)+\Delta t$
（C）$f(t)\cdot\Delta t$ （D）$f(t+\Delta t)-f(t)$

答案： D

3. 函数在某点处的导数的概念中，对自变量$x$在$x_{0}$处的增量$\Delta x$的表述正确的是( )．
（A）大于零 （B）小于零
（C）等于零 （D）不等于零

答案： D

4. 设函数$f(x)$在$x = x_{0}$处可导，则$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_{0}-\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$等于( )．
（A）$f'(x_{0})$ （B）$-f'(x_{0})$
（C）$-f'(-x_{0})$ （D）$-f(-x_{0})$

答案： B【提示】$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 - \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=-\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 - \Delta x)-f(x_0)}{-\Delta x}=-f'(x_0)$

5. 一点沿直线运动，如果由起点起经过$t$秒后的距离$s=\frac{1}{2}t^{2}+1$，那么速度为1的时刻是( )．
（A）1秒末 （B）2秒末
（C）3秒末 （D）4秒末

答案： A【提示】根据瞬时速度的定义，$v = \lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\frac{1}{2}(t + \Delta t)^2+1-\frac{1}{2}t^2 - 1}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}(\frac{1}{2}\Delta t + t)=t$，瞬时速度为1，则$t = 1$

6. 一物体的运动方程为$s = 7t^{2}+8$，则其在$t =$______时的瞬时速度为1.

答案： $\frac{1}{14}$【提示】$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{7(t_0+\Delta t)^2 + 8-(7t_0^2 + 8)}{\Delta t}=7\Delta t + 14t_0$，$\lim\limits_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}(7\Delta t + 14t_0)=14t_0$。令$14t_0 = 1$，可得$t_0=\frac{1}{14}$，即在$t=\frac{1}{14}$时的瞬时速度为1

7. 已知函数$y=\frac{1}{x}$，则$y'\vert_{x = 3}=$__________．

答案： $-\frac{1}{9}$

8. 已知$f'(x_{0}) = 2$，则$\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+4h)-f(x_{0})}{4h}=$_______．

答案： 2

9. 如果质点$A$沿直线运动，位移为$s$(单位：m)，时间为$t$(单位：s)，运动规律是$s = 3t^{2}$，则在$t = 9\ s$时，质点$A$的瞬时速度为__________．

答案： 54 m/s

10. 某物体运动方程为$s(t)=3t^{2}$(位移单位：m，时间单位：s)，其在3 s这一时刻的瞬时速度是18 m/s，则$\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{s(3+\Delta t)-s(3)}{\Delta t}=$_______．

答案： 18