《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

1. 设函数$f(x)=x,g(x)=x^{3}$,则方程$f'(x)+g'(x)=4x$的解是( ).
（A）1或3 （B）-1或-3 （C）1或$\frac{1}{3}$ （D）-1或$-\frac{1}{3}$

答案： C

2. 若曲线$y=x^{2}$在点$P$处切线的斜率为3,则点$P$的坐标为( ).
（A）(3,9) （B）(-3,9) （C）$(\frac{3}{2},\frac{9}{4})$ （D）$(-\frac{3}{2},\frac{9}{4})$

答案： C

3. 函数$y=x^{9}$在$x=-1$处的导数是( ).
（A）9 （B）-9 （C）1 （D）-1

答案： A

4. 已知函数$f(x)=\frac{3}{x^{2}}$,则$f'(3)=$( ).
（A）$-\frac{2}{3}$ （B）$\frac{2}{3}$ （C）$-\frac{2}{9}$ （D）$\frac{2}{9}$

答案： C

5. 设函数$f(x)=x^{n}(n\in\mathbf{Z})$,若$f'(-1)=3$,则$n$的值为( ).
（A）2 （B）3 （C）-2 （D）-3

答案： B

6. 设函数$f(x)=\ln x$,则$f'(e^{-1})=$__________.

答案： e

7. 曲线$y=x^{4}$在点$(-1,1)$处的切线方程为____________________.

答案： $4x + y + 3 = 0$

8. 曲线$y=\frac{1}{x^{2}}$在点$(2,\frac{1}{4})$处的切线方程为________________.

答案： $x + 4y - 3 = 0$

9. 若曲线$y=2^{x}$在点$M$处切线的斜率为$\ln 16$,则点$M$的坐标为________.

答案： $(2,4)$

10. 已知曲线$y = f(x)$在点$M(1,f(1))$处的切线方程是$y=\frac{1}{2}x + 2$,则$f(1)+f'(1)=$__________.

答案： 3

11. 证明曲线$y=\sin x$在两点$(0,0),(\pi,0)$处切线的斜率互为相反数.

答案： 证明：$y'=\cos x$，曲线$y = \sin x$在两点$(0,0)$，$(\pi,0)$处切线的斜率分别为1和 - 1，它们互为相反数.

12. 已知函数$f(x)=2^{x},f'(a)=\ln 8$,求$a$的值.

答案： 解：$f'(x)=2^{x}\ln 2$，由$f'(a)=\ln 8$，得$2^{a}\ln 2=\ln 8 = 3\ln 2$，即$2^{a}=3$，$\therefore a=\log_{2}3$.