《2025年学习质量监测数学选择性必修第二册人教A版》

12. 已知直线$l_{1}$为曲线$y = x^{2}+x - 2$在点$(1,0)$处的切线，$l_{2}$为该曲线的另一条切线，且$l_{1}\perp l_{2}$，求直线$l_{1}$与$l_{2}$的方程.

答案： 解：曲线在某点处的切线斜率为$k_{切}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(x + \Delta x)^2+(x + \Delta x)-2-(x^2 + x - 2)}{\Delta x}=2x + 1$，
$\therefore$曲线在点$(1,0)$处的切线斜率$k = 3$，
$\therefore$直线$l_1$的方程为$y = 3x - 3$。
设直线$l_2$过曲线$y = x^2 + x - 2$上的点$B(b,b^2 + b - 2)$，则$l_2$的方程为$y-(b^2 + b - 2)=(2b + 1)\cdot(x - b)$。
$\because l_1\perp l_2$，$\therefore 2b + 1=-\frac{1}{3}$，解得$b = -\frac{2}{3}$，
$\therefore$直线$l_2$的方程为$y = -\frac{1}{3}x-\frac{22}{9}$。

1. 如图，直线$l$是曲线$y = f(x)$在$x = 4$处的切线，则其斜率为（ ）.
（A）$\frac{1}{2}$
（B）3
（C）4
（D）5

答案： A

2. 已知直线$l$经过$(-1,0)$，$(0,1)$两点，且与曲线$y = f(x)$切于点$A(2,3)$，则$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}$的值为( ).
（A）-2 （B）-1 （C）1 （D）2

答案： C 【提示】$\because$直线$l$经过$(-1,0)$，$(0,1)$两点，
$\therefore l:y = x + 1$。由直线与曲线$y = f(x)$切于点$A(2,3)$，可得曲线在$x = 2$处的导数为$f'(2)=1$，
$\therefore f'(2)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}=1$。

3. 若曲线$f(x)=a - x^{2}$在点$(1,f(1))$处的切线经过点$(2,1)$，则$a$的值为_______.

答案： 4 【提示】曲线$f(x)=a - x^2$在点$(1,f(1))$处的切线的斜率$k=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=-2$，可得切线方程为$y - f(1)=-2(x - 1)$。依题意，有$1-(a - 1)=-2\times(2 - 1)$，解得$a = 4$。

4. 在抛物线$y = x^{2}$上求一点，使得抛物线在该点处的切线平行于直线$y = 4x - 5$.

答案： 解：设切点为$(x_0,y_0)$，
$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(x_0+\Delta x)^2-x_0^2}{\Delta x}=2x_0$，
令$2x_0 = 4$，得$x_0 = 2$，$\therefore y_0 = x_0^2 = 4$，即在点$(2,4)$处的切线平行于直线$y = 4x - 5$。

5. 已知曲线$y = f(x)=\sqrt{x}$，$y = g(x)=\frac{1}{x}$，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与$x$轴所围成的三角形面积.

答案： 解：由$\begin{cases}y=\sqrt{x}\\y=\frac{1}{x}\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$，即两曲线的交点坐标为$(1,1)$。
根据导数的几何意义可得，两条曲线切线的斜率分别为$f'(1)=\frac{1}{2}$，$g'(1)=-1$，
两切线方程分别为$y - 1=\frac{1}{2}(x - 1)$，$y - 1=-(x - 1)$，即$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$与$y=-x + 2$，
$\therefore$两条切线与$x$轴的交点坐标分别为$(-1,0)$和$(2,0)$，
$\therefore$两条切线与$x$轴所围成的三角形面积为$\frac{1}{2}\times1\times|2-(-1)|=\frac{3}{2}$。

6. 求过点$(4,\frac{7}{4})$的抛物线$y=\frac{1}{4}x^{2}$的切线方程.

答案： 解：设切点为$(x_0,y_0)$，由切线的斜率为$\frac{1}{2}x_0$，知切线方程为$y - y_0=\frac{1}{2}x_0(x - x_0)$。
$\because$点$(4,\frac{7}{4})$在切线上，$\therefore\frac{7}{4}-y_0=\frac{1}{2}x_0(4 - x_0)$。
又$y_0=\frac{1}{4}x_0^2$，$\therefore\frac{7}{4}-\frac{1}{4}x_0^2=\frac{1}{2}x_0(4 - x_0)$，
整理得$x_0^2-8x_0 + 7 = 0$，解得$x_0 = 1$或$x_0 = 7$。
当$x_0 = 1$时，$y_0=\frac{1}{4}$，切线方程为$2x - 4y - 1 = 0$；
当$x_0 = 7$时，$y_0=\frac{49}{4}$，切线方程为$14x - 4y - 49 = 0$。